定积分求弧长计算公式,弧的积分

1. 定积分求弧长计算公式
2. 什么时候用弧微分
3. 弧微分公式求的是弧长吗

定积分求弧长计算公式

怎么用定积分求求弧长？

(一).设曲线C的参数方程是：x=φ(t)，y=ψ(t)；那么有起点A(t₁)到终点B(t₂)的弧长S：S=[t₁，t₂]∫√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt

(二)若曲线C的方程为y=f(x)，曲线弧的端点A和B对应的自变量x的值为a与b，那么A⌒B的弧长S：S=[a，b]∫√[1+(dy/dx)²]dx。这就是积分求弧长的表达式，其中ds要根据题目条件来求，但基本上都是（dx^2+dy^2）^1/2变化而来的，空间曲线的弧长类似推广即可

弧长s=∫根号下[1+y'(x)²]dx (x的积分下限a,上限b)。弧长公式中下限为a,上限为b,ab为曲线的端点对应的x的值。弧长意思为曲线的长度。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

ds^2= dx^2 + dy^2

ds= 根号下(dx^2+dy^2)

根据这个公式,可以退导其他的式子.

把dx^2从根号提出来,就是∫ds =∫ 根号下[1+(dy/dx)^2]*dx

同理,∫ds =∫ 根号下[1+(dx/dy)^2]*dy

如果是参数函数,对于t[a,b]

∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2]*dt

如果是极函数,(polar function)

∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [r^2 + (dr/dO)^2]*dr

(O是角度theta,区间是〔a,b〕)这道题推导有点麻烦,得把x=cosr,y=sinr之类的都得带进去求导,就不说了.

什么时候用弧微分

1. 弧微分的使用时机是在计算曲线的长度、曲率等物理量时。
2. 弧微分的原因是因为在曲线上的每一点，都可以用弧长来表示该点的位置，而弧微分就是用来表示曲线上某一点的微小弧长。
3. 弧微分的概念和应用不仅仅局限于曲线，还可以扩展到曲面、空间曲线等更高维度的几何对象上。
在物理学中，弧微分也常用于描述粒子在曲线轨道上的运动。

　　在关于t的参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t)中，弧微分ds=√[x`(t)²+y`(t)²+z`(t)²dt。

推导过程如下： 　　根据弧微分的定义可知，ds=√d²x+d²y+d²z……式（1） 　　根据一元函数性质可知dx=x`(t)dt,dy=y`(t)dt,dz=z`(t)dt……式（2） 　　将（2）带入到（1）中有，ds=√[x`(t)²+y`(t)²+z`(t)²]dt。　　弧微分一般是在第一类曲线积分中使用，即在已知曲线线密度u(x,y,z)的情况下，计算曲线的质量，此时积分可以写成M=∫u(x,y,z)ds，然后利用参数方程转化成对t的一重积分∫u[x(t),y(t),z(t)]*√[x`(t)²+y`(t)²+z`(t)²dt，即可进行求解。

求面积时，可以用dx，而求弧的时候，应该用弧微分。这两者的应用场合是完全不同的。

弧微分公式求的是弧长吗

弧微分公式是ds=√［1+（y'）²]dx。

弧微分是用一条线段的长度来近似代表一段弧的长度。

弧微分是设函数f(x)在区间（a，b)内具有连续导数，在曲线Y=f(x)上取定点Mo(xo，f(xo))作为计算曲线弧长的基点。

弧微分公式规定：

自变量x增大的方向为曲线的正向，当弧段MoM的方向与曲线正向一致时，M0M的弧长S>0；当弧段MoM的方向与曲线相反时，S<0。

弧微分的ds，近似等于弧s的增量Δs，它要比dy长，dy是它在y轴的投影。

它表示的是弧的长度的变化率。

到此，以上就是小编对于弧的积分的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。