一致收敛的函数列是否保持一致连续性,常函数是不是收敛函数

1. 一致收敛的函数列是否保持一致连续性
2. 函数乘积是否收敛
3. 收敛、连续、有界的关系

一致收敛的函数列是否保持一致连续性

一致收敛和函数连续是两个概念

一致收敛可以是数列、级数等离散函数的性质

但一致收敛的连续函数列会收敛到一个连续函数。

证明也很简单。

比如说， fn－＞f是一致收敛连续函数列，那即是说，对任意一个e＞0，　存在一致的N，　使得当n＞N时，　｜fn（x）－f（x）｜＜e　对任意的x都对。

我们要证明f也是连续的，比如　f（x）在　x0处连续，我们要估计f（x）－f（x0）＝［f（x）－fN（x）］＋［fN（x）－fN（x0）］＋［fN（x0）－f（x0）］＝I＋II＋III。

其中I和III都是充分小的，这是由一致收敛的条件得到的；当x－＞x0时，第II项也是充分小的，这是由于fN（x）在x0处是连续的得到的。所以我们有f（x）－f（x0）充分小当x－＞x0的时候。由证明我们也知道，一致收敛和连续这两个条件都是必要的，缺一不可。

函数乘积是否收敛

当然不一定啦。根据函数收敛的定义，如果当x→∞的时候，函数有极限（必须是有限常数），那么这个函数就算收敛的。

所以这样两个函数f（x）=1/x²，g（x）=x当x→∞的时候，h（x）=f（x）*g（x）=1/x，极限是0，所以h（x）=f（x）*g（x）是收敛的。

而两个函数中的f（x）在x→∞的时候，极限是0，也是收敛的。

但是另一个函数g（x）当x→∞的时候，极限是无穷大，不是收敛的。所以这个设想不正确。

收敛、连续、有界的关系

连续就是函数的图像上没有断点。精确地说，x从x1连续变到x2，函数值f(x)也从f(x1)连续变到f(x2).连续，是可微，可导的前提。可导，就是函数在指定在某点的导数存在，并且唯一而且有限。可微，就是函数某点的微分存在，dy=f'(x)dx，因此，可微与可导是同义的。有界，就是函数在整个定义域内，不小于一个数或者不大于一个数。是就一个区间说的。收敛，就是函数在变量趋近于某值时，函数的值也趋近于一个确定的值。数列是函数的特殊情形，只是变量只能取自然数。他们的许多性质是相关的。函数也是收敛必须有界，有界不一定收敛。

到此，以上就是小编对于常函数是不是收敛函数的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。