函数有定义一定连续吗（函数有定义一定连续吗为什么）

1. 为什么可导的函数一定要连续
2. 函数有界能推出连续吗
3. 为什么函数连续但是不一定一致连续

为什么可导的函数一定要连续

建议记这些结论的时候，不要简记（时间久了容易混淆），完整的说法如下：

函数在某一点可导，则函数在这一点处是连续的。

函数在某一点是连续的，则函数在这一点处是存在极限的。

上面两条，反之都是不成立的，分别举一个反例

函数在某一点是连续的，但是在某一点不一定可导的。

反例: ，在 处

可导必连续，这是显然的。利用导数的极限定义就可以看出，如果可导。那么对应的极限存在。因为是分式型，且分母为无穷小量，那么分子必为无穷小量，也就是lim(x→x_0)f(x)-f(x_0)=0，所以lim(x→x_0)f(x)=f(x_0)。这就说明了其连续。因为函数连续就是说每一点的左极限和右极限存在且相等 而函数可导就暗含了这个条件 所以函数可导就一定连续

一、连续与可导的关系：

1. 连续的函数不一定可导；

2. 可导的函数是连续的函数；

3.越是高阶可导函数曲线越是光滑；

4.存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限(左右极限都存在)。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

二：有关定义：

1. 可导：是一个数学词汇，定义是设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x_0处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x_0处可导。

2. 连续：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。如果当自变量Δx趋向于0时。相应的函数改变量Δy也趋向于0， 则称函数y=f(x)在点x0处连续。

若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。

函数有界能推出连续吗

不可以 反例： 函数f(x)在x为有理数时为1 无理数时为0 f(x)有界但不连续

有界函数不一定是连续函数。如y=1,x是奇数;y=2,x是偶数，y=0,x的其他情况。这个函数有界(有界的定义，存在M使M大于y的任何函数值)，而显然不连续。例子很多的。不过连续函数在其定义域内总是有界的。

为什么函数连续但是不一定一致连续

依一致连续的定义，要x0属于(0,1)时对任意ε>0,有δ>0,使得当|x-x0|<δ时都有 |1/x-1/x0|<ε, 然而|1/x-1/x0|=|x-x0|/(xx0)<δ/(xx0), 当x0趋于0时δ/(xx0)无法小于ε。 所以f(x)=1/x 在（0,1）不一致连续.

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