自反函数（自反函数的特征）

1. 什么叫自反函数
2. 反正弦表达式
3. 反需求函数公式
4. 反向函数公式

什么叫自反函数

自反函数定义：

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

反正弦表达式

函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。

反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。 理解 函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记

反需求函数公式

反需求函数常用的公式为：Px = f(Qx)，其中Px表示商品的价格，Qx表示商品的需求量。该公式描述了在不同的价格下，市场上会出现多少的商品需求量。

反需求函数是通过需求函数得出其逆函数，将价格表示为需求数量的函数,就是反需求函数。需求函数就是需求关于价格P的函数，价格为自变量，需求为因变量，表示为Q=Q(P)反需求函数就是价格关于需求的函数，需求为自变量，价格为因变量，表示为P=P(Q)需求函数表示一种商品的需求量和该商品的价格之间存在着一一对应的关系。此函数关系可分别用商品的需求表和需求曲线来表示。

求反需求曲线：P=1000-5Q

则总收益曲线TR=PQ=1000Q-5Q2

边际收益曲线MR=1000-10Q

边际成本曲线：MC=20Q+400

根据边际收益等于边际成本原理：1000-10Q=20Q+400，Q=20

代入反需求曲线，P=1000-5Q=1000-5×20=900

利润π=（1000×20－5×202）-（10×202+400×20+3000）=3000

反向函数公式

一、判断反函数是否存在：

由反函数存在定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同：

1、先判读这个函数是否为单调函数，若非单调函数，则其反函数不存在。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点 x₁ 和 x₂ ，当 x₁<x₂ 时，有 y₁<y₂ ，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当 x₁<x₂ 时，有 y₁>y₂，则称 y=f(x) 在D上严格单调递减。

2、再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致；

反函数公式就一个：y=f(x) ,x=g(y)

则y'=f'(x)=1/g'(y).

如y=arc sinx

y'=1/(siny)'=1/cosy=1/√￣(1-sin²y)=1/√￣(1-x²)

反三角函数公式包括1、arcsin(-x)=-arcsinx。2、arccos(-x)=π-arccosx。3、arctan(-x)=-arctanx。4、arccot(-x)=π-arccotx。5、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx。6、sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)。7、当x∈[—π/2,π/2]时,有arcsin(sinx)=x。8、当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x。9、x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x。

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ，反正割，反余割为x的角。

三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

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