二元方程的导数与偏导的关系,二元函数偏导数存在与连续的关系

1. 二元方程的导数与偏导的关系
2. 偏导数和导数的转换
3. 二元函数两个混合偏导的关系
4. 二阶偏导数与导数的关系
5. 偏导的含义

二元方程的导数与偏导的关系

导数和偏导没有本质区别,都是当自变量的变化量趋于0时,函数值的变化量与自变量变化量比值的极限（有过极限存在的话）.

一元函数,一个y对应一个x,导数只有一个.

二元函数,一个z对应一个x和一个y,那就有两个导数了,一个是z对x的导数,一个是z对y的导数,称之为偏导.

求偏导时要注意,对一个变量求导,则视另一个变量为常数,只对改变量求导,从而将偏导的求解转化成了一元函数的求导了.

偏导数和导数的转换

导数和偏导没有本质区别，都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限（有过极限存在的话）。

一元函数，一个y对应一个x，导数只有一个。

二元函数，一个z对应一个x和一个y，那就有两个导数了，一个是z对x的导数，一个是z对y的导数，称之为偏导。求偏导时要注意，对一个变量求导，则视另一个变量为常数，只对改变量求导，从而将偏导的求解转化成了一元函数的求导了。

二元函数两个混合偏导的关系

可以从两方面来解释，第一，在证明混合偏导数相等时要用到连续的条件，证明过程一般教材上都有，可以找出具体哪步用了连续的条件，第二，确实存在着这样的二元函数，其混合偏导数并不相等，反例可以在一些辅导教材上找到，注意要证明一个命题是真命题，往往要通过推理论证，就是我们平时的数学证明，但是要证明一个命题是假的，则只需举出一个反例即可，完全不用进行任何“正面”的证明。

二阶偏导数与导数的关系

偏导数适用于多元变量的情形，导数指一个变量

偏导的含义

偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。

偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。

偏导数指的是因变量对于某一个自变量的变化率，可以看做是将其他自变量视作常数后，对这个一元函数求导，也就是图像在在某一平面上的变化率（这个平面是其他自变量为常数截出来的），通过梯度这个概念，我们能够展现出函数值随着每一个自变量的变化率，可以看到多元函数沿着某一方向的变化速率。

全微分可以理解为一元函数中微分的推广，意义也有相近的地方。在微积分发展的早期，函数的微分被视作是一个微小的增量，数学家们引入了无穷小的概念却不能在逻辑上达到完满的状态。在极限理论中，我们舍弃了无穷小或者说增量的概念，微分在极限理论下，实际上是一个函数，它是可微函数线性主要部分的近似。也即是每一个自变量的该变量趋于0时，函数值改变量的线性主要部分（也是最低阶的无穷小）。

函数可偏导指的是对于任意自变量均可偏导，这是可微的必要条件，但是如果偏导数连续，我们就可以得到函数必然可微的结论，这是可微的充分非必要条件。

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

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