凸函数不等式（严格凸函数等号成立条件）

1. 严格凹函数
2. 严格凸函数等号成立条件
3. 凸规划问题的判定例题
4. 请问琴生不等式是什么
5. 信息的凸性定理

严格凹函数

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx1+(1-λ)x2≥λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。

如果定义在某一区间上的一元实函数是连续函数，且对这一区间中的任何两点X1、X2，当X1<X2时，有不等式

其中q1、q2为正数，q1+q2=1，这时，我们把函数f(x)叫做凹函数，或叫做下凸函数。

如果把上述条件中的“≥”改成“>”，则叫做严格凹函数，或叫做严格下凸函数。

如果y=f(x)是(严格)凹函数，那么它的图象是(严格)凹曲线，或叫做(严格)下凸曲线。

严格凸函数等号成立条件

判断是否是严格凸函数将用到延森不等式，而该不等式等号成立的条件是f(x1)/x1=f(x2)/x2=...=f(xn)/xn。

凸规划问题的判定例题

若最优化问题的目标函数为凸函数，不等式约束函数也为凸函数，等式约束函数是仿射的，则称该最优化问题为凸规划。凸规划的可行域为凸集，因而凸规划的局部最优解就是它的全局最优解。

当凸规划的目标函数为严格凸函数时，若存在最优解，则这个最优解一定是唯一的最优解。

请问琴生不等式是什么

琴生不等式是以丹麦数学家约翰·琴生（Johan Jensen）命名的一个重要不等式。琴生不等式也译为詹森不等式，它的本质是对凸函数性质的应用。琴生不等式在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式往往比借助任何一般性的理论都要容易得多。

信息的凸性定理

凸性的性质

1、凸性随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。

2、对于没有隐含期权的债券来说，凸性总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升;当利率上升时，债券价格以减速度下降。

3、含有隐含期权的债券的凸性一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。因为利率下降时买入期权的可能性增加了。

凸性是对债券价格利率敏感性的二阶估计，是对债券久期利率敏感性的测量。在价格－收益率出现大幅度变动时，它们的波动幅度呈非线性关系。由持久期作出的预测将有所偏离。凸性就是对这个偏离的修正。它由以下公式定义：

无论收益率是上升还是下降，凸性所引起的修正都是正的。因此如果修正持久期相同，凸性越大越好。凸性的计算公式为：

定理一：固定信道，互信息是信源p（x）的上凸函数（凸函数）

定理二：固定信源，互信息是关于p（y｜x）的下凸函数（凹函数）

平均互信息的凸性 第5讲 Jensen不等式:若f(?)是R上的凸∩函数，则 E [f(?)] ≤ f (E (?)) 其中，E表示数学期望。 证明：只对离散情况证明。 对于离散变量，令 ，则E [f(?)] ≤ f (E (?)) 可写成 可用归纳法进行证明。

答：与熵的关系

性质:对称性、非负性、极值性

信息处理定理

Review

凸性

在[a,b]上定义的上凸函数

在[a,b]上定义的下凸函数

凸集

若集合

(n维欧氏空间),有

到此，以上就是小编对于凸函数不等式性质证明的问题就介绍到这了，希望介绍的5点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。