函数讨论（函数讨论单调性）

1. 讨论函数连续性的方法总结
2. 讨论函数间断点
3. 含参函数讨论极值点个数方法
4. 讨论函数f(x)=xsin(1/x),x≠0 0,x=0在x=0处连续性和可导性
5. 讨论分段函数的连续性和可导性

讨论函数连续性的方法总结

一般先计算函数的间断点，把所有的间断点都先算出来，然后分别计算左趋近于间断点和右趋近于间断点以及间断点本身的函数值，如果三者都相等的话，我们就认为函数在这点处是连续的。如果没有间断点，直接求在某点处是否连续的话，那就是先计算该点的函数值，然后计算趋近于该点时候的极限值，如果相等的话，就是在该点处连续，否则就是不连续。

讨论函数间断点

笔者认为：间断点要求在在点的去心邻域（有的教科书叫做空心领域）有定义，并不要求在间断点处有定义。

一般来说：

函数值不存在（即函数在该点处无定义），左右极限存在且相等；或者函数值存在，同时左右极限存在且相等，且不等于函数值，叫做

可去间断点

无论函数值存在与否，左右极限存在且不相等，叫做

跳跃间断点

第一类间断点

无论函数值存在与否，左右极限至少有一个不存在，叫做

第二类间断点

无穷间断点

振荡间断点

由上述1.2.3,尤其是2,3可以看出，

间断点的定义与函数在该点处是否有定义无关

由于目前大学里多数教科书在给出间断点的定义的时候，往往第1点说的不够详尽清楚。因此有人可能认为我的第一点有问题，也就是

可去间断点

含参函数讨论极值点个数方法

确定含参函数的极值点个数通常需要使用微积分的方法。以下是一些步骤，可以帮助你讨论含参函数的极值点个数：

1. **求导数：** 首先，对含参函数关于自变量求导，得到函数的导数。

2. **解导数为零的方程：** 将导数设置为零，求解这个方程，得到临界点。

3. **求二阶导数：** 对导数再次求导，得到二阶导数。

4. **使用二阶导数判定极值：** 对临界点进行二阶导数的符号判定。如果二阶导数大于零，那么临界点是极小值点；如果二阶导数小于零，那么临界点是极大值点。如果二阶导数等于零，这个方法就无法确定。

讨论函数f(x)=xsin(1/x),x≠0 0,x=0在x=0处连续性和可导性

是连续的。

因为该点处极限=0,=函数值 但不可导。

导数=lim(xsin1/x)/x=sin1/x，在0处这个极限不存在。

讨论分段函数的连续性和可导性

1、连续性证明：

左极限=lim（x→0-）f（x）=lim（x→0-）x（用x=0左边的函数式，即x＜0的函数式求）

=0

右极限=lim（x→0+）f（x）=lim（x→0+）x²（用x=0右边的函数式，即x＞0的函数式求）

=0

左右极限相等，所以极限存在，即lim（x→0）f（x）=0

而根据题意，f（0）=0²=0=lim（x→0）f（x），在x=0点处极限值=函数值，所以在x=0点处连续。

2、可导性证明：

因为在x=0点处连续，所以可以直接用函数表达式求左右导数

左导数=（x）'（用x=0左边的函数式，即x＜0的函数式求）=1

1、连续性证明：左极限=lim（x→0-）f（x）=lim（x→0-）x（用x=0左边的函数式，即x＜0的函数式求）=0右极限=lim（x→0+）f（x）=lim（x→0+）x²（用x=0右边的函数式，即x＞0的函数式求）=0左右极限相等，所以极限存在，即lim（x→0）f（x）=0而根据题意，f（0）=0²=0=lim（x→0）f（x），在x=0点处极限值=函数值，所以在x=0点处连续。2、可导性证明：因为在x=0点处连续，所以可以直接用函数表达式求左右导数左导数=（x）'（用x=0左边的函数式，即x＜0的函数式求）=1右导数=（x²）'（用x=0右边的函数式，即x＞0的函数式求）=2x=2*0=0所以在x=0点处的左导数=1，右导数=0，左右导数不相等，f（x）在x=0点处不可导。

到此，以上就是小编对于函数讨论单调性的问题就介绍到这了，希望介绍的5点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。