两函数的内积（两函数的内积 量子力学）

1. 两个定义域不同的函数内积
2. 函数的平方是内积吗
3. 线性代数内积

两个定义域不同的函数内积

内积是公理化的定义，只要满足内积公理地定义均可成为内积。一般来说，在闭区间[a, b]上，两个连续函数f(x), g(x)的内积定义为二者乘积在[a, b]上的黎曼积分。

函数的平方是内积吗

平方可积函数（这里的“函数”实际上意味着几乎处处相等的一组函数）通过内积构成一个内积空间，

其中

f 和 g 都是平方可积函数，

fx 是 f 的复共轭

A 是积分区间——在上述的第一种情况中，A 就是；在第二种情况中 A 是 [0, 1]。

由于 |a|2 = a ，平方可积性之要求也即

可以证明，平方可积函数在上述定义的内积导出的度量下构成一个完备度量空间。完备度量空间也被称为柯西空间，因为在这样的度量空间中，数列收敛当且仅当其为柯西序列。由一个范数导出的度量下的完备空间是巴拿赫空间。因此，平方可积函数的空间是由该范数导出的度量下的巴拿赫空间，而范数又是由内积导出的。由于内积的补充性质，这（空间）其实就是一个希尔伯特空间，因为空间在由内积导出的度量下是完备的。

这个内积空间通常记为，并经常缩写为。注意表示的是平方可积函数的集合，但该记号没有指明选择的度量、范数或内积。该集合需要连同特定的内积，来确定内积空间。

平方可积函数构成的空间也是一个 Lp空间，其中 p = 2。

线性代数内积

线性代数中，内积是一种重要的概念。它在向量空间中定义了一种函数，将两个向量映射到一个标量。内积满足几个重要的性质，包括线性性、对称性和正定性。

线性性是指内积对加法和数乘都满足分配律和线性性质。对称性是指内积的值与向量的顺序无关，即对于任意两个向量A和B，有内积(A,B) = 内积(B,A)。正定性是指内积的值始终大于等于0，并且只有当两个向量相等时，内积等于0。

内积在许多领域中都有广泛的应用，如机器学习、信号处理和图像处理等。在机器学习中，内积可以用来度量两个向量之间的相似度，从而可以应用于聚类、分类和回归等任务中。

总而言之，线性代数中的内积是一种有用的工具，它可以帮助我们理解向量之间的关系，并且在许多领域中都有广泛的应用。

14、内积（α1，α2）＝0 实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量正交 所以，它们的内积＝0 定理如下：

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