函数切线定义（为什么不是所有函数都有切线）

1. 函数的切线怎么求
2. 为什么不是所有函数都有切线
3. 什么是法线方程和切线方程
4. 有切线就有导数吗

函数的切线怎么求

函数的切线方程就是去该函数的导数。例：y=ax²+bx+c(y为x的函数)上面一个点（m,n)

切线斜率k=y'=2ax+b，则过（a,b)点的切线方程为y-n=(2am+b)(x-m)。

f(x)过(x0,y0)的切线

当(x0,y0)在f(x)上时，由切线的斜率是f'(x0),所以方程是(y-y0)/(x-x0)=f'(x0)

当(x0,y0)不在f(x)上时，设切点是（x1,y1),

方程为(y-y0)/(x-x0)=f'(x1)

y1=f(x1)

(y1-y0)/(x1-x0)=f'(x1)由这两个方程可解出（x1，y1）就可求出方程

为什么不是所有函数都有切线

对任意一条曲线上的任意一点，不一定能做出切线。因为曲线的定义是广泛的，所以：（1）.曲线在该点不连续，无法做出切线。如:f(x)=x(x≠2)且f(2)=1,在x=2处无切线。（2）.曲线在该点连续，但不可导。如f(x)=|x|在点x=0，虽连续，但无切线。

即使是曲线在该点不可导，也不能说切线不存在。切线的斜率可能不存在。如f(x)=三次跟号下x，在x=0处存在切线，但不可导。所以是否存在切线，与函数在该点是否可导，不是充分必要的。

什么是法线方程和切线方程

对于函数y=f（X）在点X。处切线方程为y-f（X。）=f'（X。）（X一X。）（导函数值为切线斜率）而法线是与切线垂直直线，故法线方程为y一f（X。）≡-（X一X。）/f（X。）

和函数的图像只有一个交点的直线的方程叫切线方程，过切点垂直于切线的方程叫法线方程。

有切线就有导数吗

这点导数存在，这点一定有切线；

这点切线存在，这点未必有导数存在（切线为x=a时，a为常数）

有切线的曲线在某点处存在导数。根据微积分的定义，导数是描述函数在某点变化率的概念。如果函数在某一点存在切线，那么该点必然有一个唯一的导数。因此，存在切线就意味着存在导数。切线的存在意味着函数在该点附近是光滑的，并且函数在该点是可导的。因此，切线和导数的关系是密切相关的，存在切线就意味着存在导数。

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