凸函数一定一致连续吗,证明凸函数连续性的方法

1. 凸函数一定一致连续吗
2. 凸区间内函数是否连续
3. 信息的凸性定理

凸函数一定一致连续吗

不啊，f(x)=x^2就不一致连续

y=1/x在(0,1]上是凸函数，但不一致连续。

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）

凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。



凹函数、凸函数性质：

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是正值。

不一定。凸函数可能不一致连续。例如，函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是一致连续的，但是在区间[1,2]上则不一致连续。

这是因为当x趋向于2时，f(x)的值迅速增加，导致在x=2处出现“尖峰”，从而使得函数在x=2处不一致连续。

因此，凸函数不一定一致连续。

凸区间内函数是否连续

内闭连续...凸函数在所定义的区间内是内闭连续的，因为凸函数在定义域的内部单侧可导，所以单侧连续，从而连续。不连续的点出现在端点上，只要端点处的函数值大于其单侧的极限值，都能保持凸性

凸函数的性质之一为：

定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

信息的凸性定理

定理一：固定信道，互信息是信源p（x）的上凸函数（凸函数）

定理二：固定信源，互信息是关于p（y｜x）的下凸函数（凹函数）

平均互信息的凸性 第5讲 Jensen不等式:若f(?)是R上的凸∩函数，则 E [f(?)] ≤ f (E (?)) 其中，E表示数学期望。 证明：只对离散情况证明。 对于离散变量，令 ，则E [f(?)] ≤ f (E (?)) 可写成 可用归纳法进行证明。

答：与熵的关系

性质:对称性、非负性、极值性

信息处理定理

Review

凸性

在[a,b]上定义的上凸函数

在[a,b]上定义的下凸函数

凸集

若集合

(n维欧氏空间),有

凸性的性质

1、凸性随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。

2、对于没有隐含期权的债券来说，凸性总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升;当利率上升时，债券价格以减速度下降。

3、含有隐含期权的债券的凸性一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。因为利率下降时买入期权的可能性增加了。

凸性是对债券价格利率敏感性的二阶估计，是对债券久期利率敏感性的测量。在价格－收益率出现大幅度变动时，它们的波动幅度呈非线性关系。由持久期作出的预测将有所偏离。凸性就是对这个偏离的修正。它由以下公式定义：

无论收益率是上升还是下降，凸性所引起的修正都是正的。因此如果修正持久期相同，凸性越大越好。凸性的计算公式为：

到此，以上就是小编对于证明凸函数连续性的方法的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。