标准正态分布概率密度函数（标准正态分布概率密度函数公式）

1. 正态分布的概率密度函数怎么计算
2. 正态分布的期望和方差怎么求

正态分布的概率密度函数怎么计算

正态分布的概率密度函数公式是f(x)=exp{-(x-μ)²/2σ²}/[√(2π)σ]。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量x服从一个数学期望为、方差为0~2的正态分布，记为N（μ，02）。

其概率密度函数为正态分布的期望值u决定了其位置，其标准差口决定了分布的幅度。当以=0，=1时的正态分布是标准正态分布。

正态分布曲线

正态分布作为具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2)。

遵从正态分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

正态分布的概率密度函数可以用下面的公式表示：

f(x)=1/√2πσexp[-(x-μ)^2/2σ^2]

其中，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差，x表示正态分布的变量。

计算正态分布的概率密度函数时，需要先确定正态分布的均值μ和标准差σ，然后将x的值代入上面的公式，即可计算出正态分布的概率密度函数。

正态分布的期望和方差怎么求

正态分布的期望和方差可以通过其概率密度函数来求解。

设正态分布的概率密度函数为：

f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2))

其中，μ为期望，σ为标准差。

则正态分布的期望为μ，方差为σ^2。

不用二重积分的，可以有简单的办法的。设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 其实就是均值是u，方差是t^2，于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*） 积分区域是从负无穷到正无穷。

下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了。（1）求均值 对（*）式两边对u求导：∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 把(u-x)拆开,再移项：∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u 这样就正好凑出了均值的定义式。

证明了均值就是u.(2)方差 过程和求均值是差不多的，对(*)式两边对t求导：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 移项：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

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