反函数的求导法则证明（反函数的求导法则证明过程）

1. 反函数求导法则
2. 为什么反函数求导法则中导数不等于零
3. 反函数求偏导举例

反函数求导法则

反函数的导数是原函数导数的倒数。在求反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个制要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。

为什么反函数求导法则中导数不等于零

可导且导数不为0，则其导数恒为正或恒为负，而不可能是有正有负（否则由连续性则必有导数为0的点）。

所以函数都是单调的，因此具有反函数。

可导且导数不为0，则其导数恒为正或恒为负,函数是单调且连续的

则这个函数存在反函数

几何角度?那首先画一个平面直角坐标系了， 然后就是导数的定义了，简单的说导数就是某曲线，在某一点切线的斜率。那么有了这个条件后，我们就可以发现，当一个曲线上所有切线的斜率都大于0，那么他必定是单调递增的。最简单的就是一次函数了。这样我们就可以推出，当曲线斜率为正时，那么函数单调递增。负数是单调递减。而凹凸性的问题，这里首先要知道什么样的曲线被定义为凹，什么样的为凸。任意画一条曲线，连接两个端点，得到直线ab，你就会发现，这条曲线上有的点在ab直线上面，有的在下面。 那么在几何上面来说，我们称在上面的为凸，在下的为凹。 那么凹凸有什么数学意义呢，在图上面不难发现，凡是凸的部分，他的斜率，都是先大后小的(凹的则想反)所以，由此我们知道，凸的部分其实就是斜率不断递减的曲线，所以当我们把，导数重新看成一个函数是，他的导数为负数的时候，这个函数为凸。同理凹函数也一样。最后可以得到结论是:函数二阶导数为负，则为凸，二阶导数为正，函数为凹

当我们考虑反函数的导数时，如果导数等于零，那意味着原函数的斜率为零，即函数处于平坦的水平区域。然而，反函数的斜率应该与原函数的斜率相互倒数。

考虑两个函数 f(x) 和 g(x)，其中 g(x) 是 f(x) 的反函数。如果在某点 x0 处，f'(x0) ≠ 0，那么 f(x) 在该点具有非零的斜率。由于 g(x) 是 f(x) 的反函数，它的斜率应该是原函数 f(x) 在 x0 处的导数的倒数，即 g'(x0) = 1 / f'(x0)。

如果 f'(x0) = 0，那么在原函数 f(x) 的图像上，我们会得到一个平坦的水平区域。这样的点在反函数 g(x) 中将没有对应，因为在平坦区域上，反函数无法唯一地定义。因此，在反函数的导数中，我们不会遇到导数等于零的情况，而是遇到分母为零的情况，即无定义的情况。

总之，反函数的导数不等于零，因为它与原函数的斜率存在相互倒数的关系，避免了在反函数中出现无定义的情况。

反函数求偏导举例

例：求arctanx的导数。

分析：在我们还没有学习反三角函数的导数的情况下，只能利用反函数的导数来求反正切函数的导数了。而且由于正切函数tanx在定义域上不是严格单调函数，所以我们只能取它的一个周期(-π/2, π/2)，才能得到反正切函数arctanx。已知tanx的导数是(secx)^2.

解：y=arctanx, x∈R是x=tany, y∈(-π/2, π/2)的反函数，

因为(tany)'=(secy)^2，根据反函数的导数定义可知：

(arctanx)'=1/(tany)'=1/(secy)^2=1/(1+(tany)^2).

将x=tany代入上式，得：(arctanx)'=1/(1+x^2)，x∈R.

注意到没有，在直接运用反函数的导数定义时，自变量是y，不是x，如果直接把y换成x，就会得到错误的结果。正确的做法是将原函数的解析式代入运用定义后的式子，才能转化出反函数的真正导函数。

到此，以上就是小编对于反函数的求导法则证明过程的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。