e与三角函数转换公式,复指数函数与三角函数的关系

1. e与三角函数转换公式
2. 复分析与复实变函数的区别
3. 为什么物理公式有三角函数

e与三角函数转换公式

三角函数

 与e指数变换是傅里叶变换。具体如下：

根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。

所以，任何一个周期函数

 f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系

 之间，存在映射关系。

一般情况下，N点的傅里叶变换对为：

其中，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和x(n）都为复数。与之相对的快速傅里叶变换

 有很多种，如DIT（时域抽取法）、DIF（频域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。对于2n傅里叶变换，Cooley－Tukey算法可导出DIT和DIF算法。

三角函数和e的关系：

sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i), cos(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2；

数学常数e, pi, i, 1, 0的关系：

e^(i*pi)+1=0

复分析与复实变函数的区别

数学分析是基础，实分析=实变函数，复分析=复变函数，名称不同，并无本质差别。

形象的讲，实变函数就是研究性质很差的各种奇葩函数，而复变函数则是研究性质相当好的一类函数。而实变函数是通往近代分析的基础，表现为利用集合研究诸如连续，可积等问题，而复变函数基本还是数学分析的套路。

复分析和复实变函数是数学中两个不同的领域。复分析研究的是复数域上的函数，而复实变函数研究的是实数域上的函数。

复分析是研究复变量函数的性质和行为的数学领域。它包括解析函数、调和函数、亚纯函数等概念。复分析的一个重要结果是复变函数的解析性和调和性之间的联系，即柯西-黎曼方程。复分析在物理、工程、计算机科学和数学等领域都有广泛的应用。

复实变函数是实变量函数的一个分支，它研究的是实数域上的复合函数、级数、微积分和微分方程等问题。复实变函数的重要结果包括泰勒级数、傅里叶级数、傅里叶变换等。复实变函数在信号处理、图像处理、控制论和微分方程等领域都有广泛的应用。

总之，复分析和复实变函数都是研究数学中函数的性质和行为的领域，但是它们研究的对象和方法不同，应用领域也有所不同。

复变和实变，自变量的范围不同，复变函数研究对相是解析函数，讨论复数之间的依存关系，而实变函数研究范围较广，复变函数只是前者在微积分领域的推广与发展，亦称复分析。

为什么物理公式有三角函数

三角函数两个来源，一个是线性坐标与极坐标的换算，一个是傅里叶基底。

第一个好理解，中学使用的三角函数都是第一类。但是物理中更重要的是第二类。

首先，傅里叶基底对于有限场是一套完全基底，所有场都可以写成傅里叶展开的形式。其次，叠加原理告诉我们系统的整体改变可以分解成每一部分分别改变的和作用。所以我们可以分别研究傅里叶展开后每一项的影响。

但是傅里叶基底不是唯一的完全基底。我们使用傅里叶展开而非小波基底等是因为正弦余弦函数(实际上是复指数函数，三角函数是一种特例)有一些特殊的性质。

1. 三角函数在任一空间点都是nontrivial，很好的体现了空间整体的性质

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