函数单侧极限（函数单侧极限的单调有界定理）

1. 函数的单侧极限怎么样是左极限
2. 函数极限存在为什么要有左右极限
3. 为什么导数极限只能证明一边存在
4. x=0为什么要分左右极限
5. 证明函数存在极限时，需要证明左右单侧极限各自存在并且相等吗

函数的单侧极限怎么样是左极限

左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。 左极限与右极限统称单侧极限。

函数极限存在为什么要有左右极限

1、分段函数（piecewise function）的间断点，需要考虑。

无论是什么类型的间断点，都得考虑左右极限。

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2、定积分时，若是广义积分、暇积分(英文不分，都是improper integral)，

不得不考虑单侧极限。是积分积出来之后才考虑单侧极限。

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3、连续性问题，尤其是证明题，证明连续性 continuity，一定要考虑。

因为有间断点的存在，导致函数并不一定是连续的，连续的函数极限才有唯一性，不连续的没有，所以会分左极限和右极限，左极限等于右极限等于该点函数值，则函数连续

为什么导数极限只能证明一边存在

1、原因 因为不一定是连续的，可导要求左右导数存在且相等。

2、举例说明 y=|x|在x=0处极限为0，但是左右导数分别是-1，1，所以在x=0是不可导的。

3、可导 可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在 导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。 4、可导条件 如果一个函数的 定义域为全体 实数，即 函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。 函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。

这实际上是按照极限存在的一个 充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。 注意：可导的函数一定 连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

导数的极限只能证明一边存在是因为在证明中通常使用的方法都是基于单侧极限的定义和性质。在求导数的极限时，我们需要考虑函数在某一点附近的变化率，并且利用单侧极限的定义来进行推导。因此，导数的极限证明通常是通过左侧和右侧极限的存在性来进行推导的。在实际应用中，只要能证明单侧极限存在，就可以得出导数极限的存在性。因此，导数极限只能证明一边存在是由于证明方法的限制，而并非导数本身的性质。

x=0为什么要分左右极限

当我们考虑函数在$x=0$处的极限时，我们需要分别讨论左极限和右极限。这是因为极限的定义要求函数在接近$x=0$时从左侧和右侧都趋近于同一个值。如果我们只考虑一个极限，可能会忽略函数在另一侧的行为，导致得出错误的结论。因此，为了全面了解函数在$x=0$处的极限行为，我们需要分别研究左右极限。

因为含 有x的绝对值这一项，要去掉绝对值号，就得分x>0和x<0两种情况，所以在0点要讨论左右极限。

证明函数存在极限时，需要证明左右单侧极限各自存在并且相等吗

不一定，要看情况而定。 .

1、如果是计算性证明，在分段函数的情况下， 无论连续不连续，都一定得分左右证明； .

2、在连续性的情况下，可以整体证明，也可以 分别证明。整体性证明是指无需分左右就能 得出结论的情况，这种情况比比皆是，任何 一个函数在定义域内都是如此。 .

3、若是用定义证明，也就是ε-δ 方法证明时， 得到的是 δ 对应于 ε 的区间，无需画蛇添足 再去多此一举。多此一举者反而显得对 ε-δ 方法并没有真正理解。 定义性证明就是原理性证明。 .

到此，以上就是小编对于函数单侧极限的单调有界定理的问题就介绍到这了，希望介绍的5点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。