复合函数的连续性定理（复合函数的连续性定理3和定理4的区别）

1. 连续复合函数性质
2. 两个不连续的函数复合能连续吗
3. 一切初等函数在其定义域内均连续

连续复合函数性质

：连续函数的和，差，积，啇仍是连续函数但是商的情况时，分母不为零。

2：连续函数的复合函数为连续函数。

3：单调连续函数的反函数是连续的。

4：在闭区间上连续的函数，在该区间上必可取到最大值与最小值，也可取到最大值与最小值之间的任何中间值。

两个不连续的函数复合能连续吗

两个不连续的函数复合不一定能连续。复合函数的连续性取决于两个函数的性质。如果第一个函数在某点处不连续，而第二个函数在该点处连续，那么复合函数在该点处也是连续的。

然而，如果第一个函数在某点处不连续，而第二个函数在该点处也不连续，那么复合函数在该点处仍然是不连续的。因此，两个不连续的函数复合不一定能连续。

1、两个不连续函数：和不一定不连续；积不一定不连续；商不一定不连续。

2、一个连续而另一个不连续的函数：和一定不连续；积不一定连续； 商不一定连续。

两个不连续的函数复合不一定连续。

举个例子，假设$f(x)$表示$x$的有理部分，也就是实数$x$与它向下取整后得到的差值$x - \lfloor x\rfloor$。$g(x)$表示$x$的分子，也就是一个分数$\frac{a}{b}$中$a$的值。则$f(x)$和$g(x)$都是不连续函数。

现在考虑它们的复合函数$g(f(x))$。根据定义，如果$x$是有理数，则$f(x)=0$，$g(f(x))=g(0)$，$g(f(x))$是连续的。如果$x$是无理数，则$f(x)$是一个稠密的集合，而$g(x)$是一个取值在整数集合上的函数，它在无理数集合上的值为常数，因此无理数处的值也是连续的。但是，在$x=n$处（$n\in Z$），函数$f(x)$会从$n-1$的极限值跃变为$n$的函数值，因此$g(f(x))$在这个点处也不是连续的。

综上所述，两个不连续的函数复合不一定连续。

一切初等函数在其定义域内均连续

所有基本初等函数在其定义域内都是连续的，这句话是对的。

连续函数的其他性质：

1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

2、连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

3、连续函数的复合函数是连续的。

4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料：

连续函数的相关定理：

1、闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

2、闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。

到此，以上就是小编对于复合函数的连续性定理3和定理4的区别的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。