可去间断点有原函数吗（第一类和第二类间断点的分类）

1. 请问为什么包含可去间断点的函数没有原函数
2. 为什么含有跳跃，可去，无穷间断点的函数没有原函数
3. 为什么有间断点的函数有原函数
4. 可去间断点个数怎么求

请问为什么包含可去间断点的函数没有原函数

作为一个原函数,它一定可导,可导的前提是连续,有间断点就不连续,自然也就不可导,所以不能是原函数。

而且导数等于间断点处的极限值，但是间断点的函数值是不等于极限值的，所以含第一类间断点的函数不是原函数对应的导函数。（间断点的函数值不等于极限值，可取间断点只是间断点处的极限值左右相等而已。）

例如：

f（x）=x （x不等于0）

F（x）=x^2/2 （x不等于0）

扩展资料：

可去间断点的判断

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

为什么含有跳跃，可去，无穷间断点的函数没有原函数

首先有一个定理：若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即F’（x）=f(x)。而函数在跳跃间断点和可去间断点处只有左连续和右连续，所以没有原函数。函数f在区间[a,b]上只有有限个第一类间断点，则称f在[a,b]上分段连续，有无穷个间断点不连续，所以没有原函数

为什么有间断点的函数有原函数

这句话应该反过来说,应该是: 在某个区间上可导的函数,其导函数在该区间上没有第一类间断点. 可以通过拉格朗日中值定理证明上述定理(又叫做导函数连续定理): 若f(x)在x0的某个邻域U(x0;δ)内连续,在该去心邻域U°(x0;δ)上可导,且lim(x→x0)f'(x)存在,则f(x)在x0处也可导,并有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x) 而第一类间断点的定义是函数在某点左右极限都存在,但不等於该点函数值. 显然,如果导函数在某点左右极限存在且相等,那麼导函数在该点连续,该点就不可能是可去间断点. 而如果导函数在某点左右极限存在却不等,那麼导函数的左极限就是原函数的左导数,导函数的右极限就是原函数的右导数.左右极限不等意味著左右导数不等,所以原函数在该点不可导,或者说导函数在该点无定义.因此该点不会是跳跃间断点(第一类间断点的定义里强调了该点必须要有函数值,既然在该点无定义,即使左右极限不等,它也不是跳跃间断点). 综上,在某个区间上可导的函数,其导函数在该区间上没有第一类间断点成立.

可去间断点个数怎么求

可去间断点即左极限=右极限=有限值，与此点取值、有无定义均无关，可以通过重新定义让其连续的点。

分母为0的“有限点”（不算x→∞）都有可能是可去间断点，所以拿出来依次讨论。x=0、x=-1和x=1

(1)当x→0时，因为涉及到|x|，所以有必要分两边进行讨论

当x→0+时，limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(xlnx)

因为0^0=1，所以分子在x→0+时是趋近于0的；对于分母，xlnx=lnx/(1/x)，应用L'Hospital法则便知在x→0+时也是趋近于0的。

故，分子分母满足0/0型的L'hospital法则，lim(x^x-1)/(xlnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(lnx+1)=lim(x^x)=1

当x→0-时，limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]

同理，分子分母满足0/0型的L'hospital法则，lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]=lim[(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+1]=lim[(-x)^x]=1

综上，当x→0时，左极限=右极限=1，故，x=0是可去间断点。

(2)当x→-1时，limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]

到此，以上就是小编对于第一类和第二类间断点的分类的问题就介绍到这了，希望介绍的4点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。