函数凹凸性（函数凹凸性的判断）

1. 为什么函数的凹凸性定义不一样啊
2. 幂函数的凹凸性
3. 判断函数的凹凸性的口诀
4. 凹区间函数性质
5. 凹函数推广定义如何证明

为什么函数的凹凸性定义不一样啊

数学从来没有引入过凹函数、凸函数的概念，在高等数学里只有曲线的凹凸，没有函数的凹凸，学习高等数学的人关于凸函数的概念纯粹是自己的牵强附会，不是从书上学来的！

在凸函数理论里，凸函数是以二阶导数大于0定义的，一般数学分析教材上也是这样定义的，例如华东师范大学的《数学分析》，你的经济学中关于凸函数的定义与数学里关于凸函数的定义是一致的。

幂函数的凹凸性

y=x^a(a为常数）的函数叫幂函数

当α>0，

在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大，显示凹；

0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0，显示凸

a=1时，y=x是直线，无凹凸性

当a<0时，呈双曲线性质，无所谓凹凸性。

当a=0时，除了x=0无意义外，其余都处于y=1的直线，无凹凸性。

判断函数的凹凸性的口诀

函数凹凸性的判断方法是：

看导数，代数上，函数一阶导数为负，二阶导数为正（或者一阶正，二阶负），便是凸的，一阶与二阶同号为凹。函数在凹凸性发生改变的点称为拐点，拐点的二阶导数为0或不存在二阶导数。

1、凹函数定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凹的，函数y =f (x ) 为凹函数。

2、凸函数定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凸的，函数y =f (x ) 为凸函数。

扩展资料：

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界 [3] 。

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

凹区间函数性质

函数的凹凸性是描述函数图像弯曲方向的一个重要性质，其应用也是多方面的

1、f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）

2、f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）

凹函数推广定义如何证明

在数学中，凹函数是指定义在实数集上的函数，具有以下性质：对于任意的实数x1和x2，以及0<=t<=1，有f(tx1+(1-t)x2) <= tf(x1) + (1-t)f(x2)。换言之，对于函数上的任意两点作线段，线段上的函数值都不大于线段两端点上的函数值之加权平均。

凹函数的推广定义可以有多种形式，其中一种比较常见的是对于凸结构的推广定义。凹函数的推广定义如下：对于给定的集合S以及定义在S上的函数f，如果对于任意的实数x1和x2以及0<=t<=1，在S内取点x = tx1 + (1-t)x2，都有f(x) <= tf(x1) + (1-t)f(x2)，则称函数f是凹函数。

为了证明函数f是凹函数，一般需要使用数学推导和证明方法。下面是一种常见的证明方法：

证明步骤：

1. 假设函数f是定义在集合S上的凹函数。

2. 选择任意的实数x1和x2，以及0<=t<=1。

3. 构造点x = tx1 + (1-t)x2，在集合S内取点x。

4. 根据凹函数的定义，有f(x) <= tf(x1) + (1-t)f(x2)。

5. 经过推导和代数计算，将f(x)展开为形式f(tx1 + (1-t)x2)。

6. 将展开后的表达式与tf(x1) + (1-t)f(x2)进行比较。

到此，以上就是小编对于函数凹凸性的判断的问题就介绍到这了，希望介绍的5点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。