求似然函数（怎么求似然函数）

1. 求指数分布的最大似然估计量
2. 似然函数与条件概率函数例子

求指数分布的最大似然估计量

P(X=xi)=C(m,xi)*p^xi*(1-p)^(m-xi)

所以极大似然函数：

L(x1,x2……xn,p)=C(m,x1)*C(m,x2)……*C(m,xn)*p^(∑xi)*(1-p)^(mn-∑xi)

取对数lnL=ln(C(m,x1)*C(m,x2)……*C(m,xn))+(∑xi)lnp+(mn-∑xi)ln(1-p)

对p求导

d(lnL)/dp=(∑xi)/p-(mn-∑xi)/(1-p)

在p=(∑xi)/mn时，d(lnL)/dp=0，且此时L取最大值

所以p的极大似然估计是p=(∑xi)/mn

似然函数与条件概率函数例子

似然函数和条件概率函数的例子如下：

似然函数：假设我们有一组数据点(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)，并且我们有一个线性回归模型y = ax + b。那么似然函数就是L(a, b; x_1, y_1; x_2, y_2; ..., x_n, y_n) = P(y_1|a, b, x_1)P(y_2|a, b, x_2)...P(y_n|a, b, x_n) = exp{-[(y_1-ax_1-b)^2/2sigma^2]+...+(y_n-ax_n-b)^2/2sigma^2}。

条件概率函数：假设我们有两个盒子，第一个盒子有3个红球和1个白球，第二个盒子有2个红球和2个白球。现在我们要从第一个盒子中取一个球，再从第二个盒子中取一个球，求取到的两个球都是红球的概率。在这个问题中，P(都是红球) = P(第一个盒子取到红球|第一个盒子取到球) * P(第二个盒子取到红球|第二个盒子取到球) * P(第一个盒子取到球) * P(第二个盒子取到球)。

L(\theta \vert x) = P(x ; \theta)

其中L(\theta \vert x)是似然函数，描述的对象是参数\theta 。对于任意的参数 \theta 来讲，都有一定的可能性取得样本 x, 似然函数就是用来衡量一个参数取得给定的联合样本 x 的可能性。整个函数的意义是给定的联合样本x下，参数\theta是真实值 (相对于其他的 \theta' )的可能性。

而 P(x ; \theta) 值得是在给定的参数 \theta 下，随机变量 X=x 的可能性，是一个关于随机变量 X 的函数。

二者的相等仅仅是数值意义上面的相等。

因此可以推知，最大似然估计的过程是找到一个参数 \theta 使得似然函数的值最大。直观的解释就是，找到一个参数估计 \hat{\theta} 使得采样得到给定的联合样本的可能性最大，那么我们就认为 \hat{\theta} 是采样的时候的真实参数 \theta 的最佳估计。

似然函数和条件概率函数是统计学中重要的概念。似然函数用于估计模型参数，它衡量了给定观测数据下模型参数的可能性。例如，对于服从正态分布的数据，似然函数可以用来估计均值和方差。而条件概率函数则描述了在给定某些条件下事件发生的概率。

例如，条件概率函数可以用来计算在已知某人患病的情况下，他们的某项检测结果为阳性的概率。这些概念在统计建模和机器学习中都有广泛应用。

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