拉格朗日函数法（怎么根据拉格朗日函数求需求函数）

1. 构建拉格朗日函数的条件
2. 怎么根据拉格朗日函数求需求函数
3. 拉格朗日乘数法原理
4. 为什么拉格朗日函数恒为凹函数
5. 为什么能用罗尔定理证明拉格朗日

构建拉格朗日函数的条件

函数需要满足完整约束。拉格朗日函数是在力学系上只有保守力的作用，是描述整个物理系统的动力状态的函数。

在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。

在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。

怎么根据拉格朗日函数求需求函数

对该函数求偏导数即可

拉格朗日乘数法原理

拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的 多元函数的 极值的方法。

这种方法将一个有n 个变量与k 个 约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

此方法的证明牵涉到偏微分， 全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

为什么拉格朗日函数恒为凹函数

任何优化问题的拉格朗日对偶函数，不管原问题的凸凹性，都是关于拉格朗日乘子的凹函数

为理解这个问题，首先有个结论：对于一凹函数族F:{f1,f2,f3...}，取函数f在任意一点x的函数值为inf fi(x)，即F中所有函数在这一点的值的下限，则f为凹函数。F为有限集、无限集均成立（此结论不难证明）

显然，仿射函数是凹函数（实际既凸又凹），将lagrangian看成关于拉格朗日乘子的一族仿射函数，lagrange dual function在每一点的取值是这族凹函数的最小值，满足上面的条件

为什么能用罗尔定理证明拉格朗日

罗尔定理可知。

fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。

开始证明拉格朗日。

假设一函数fx。

目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。

假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。

这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。

此时就有罗尔定理的前提了。

于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)

即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，

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