幂函数的不定积分（3x方dx的不定积分）

1. x^x求不定积分
2. 3x方dx的不定积分
3. 不定积分x的a次方是什么函数
4. sinx的六次方的积分

x^x求不定积分

看见这样的被积函数就知道原函数一定不是初等函数了。

∫ x^x dx

= ∫ e^(xlnx) dx

= ∫ Σ(k=0~∞) (xlnx)^k * 1/k! dx

= Σ(k=0~∞) 1/k! * ∫ x^k * (lnx)^k dx

= Σ(k=0~∞) 1/k! * (-1)^(-k) * (k + 1)^(-k-1) * Γ[k+1，(-k-1)lnx] + C

(x^x)' = x^x * (1 + lnx)

x^x = ∫ x^x dx + ∫ x^x * lnx dx

∫ x^x dx = x^x - ∫ x^x * lnx dx，后面那个积分不可积

3x方dx的不定积分

根据幂函数的不定积分公式，对于一个形如x^n的函数，其不定积分为(x^(n+1))/(n+1)。因此，对于3x方，其不定积分为x^3的1/3倍即(x^4)/4+C，其中C为任意常数。

3x的平方dx的不定积分等于∫3x^2dx=x^3+C

不定积分x的a次方是什么函数

给定函数f(x) = x^a，要找到f'(x)或者说不定积分，需要做一个替换：dx = a*(x-x_0)。然后用分部积分法（Integration by Part）来求解不定积分。

对于f(x) = x^a，我们有：

- f'(x) = a*x^(a-1)

- ∫f(x)dx = ∫a*x^(a-1)*dx = ∫a*(x-x_0)^(a-1)*dx = a*[x-x_0]^(a-1) + C

其中C是常数。

当a > 1时，我们可以看到∫a*(x-x_0)^(a-1)*dx = ∫a*(x-x_0)^(1-a)*dx，这就是一个一阶线性函数，它的原函数就是它本身：a*[x-x_0]^(1-a)。

求a的x次幂的原函数，就是对a^x不定积分。

∫ a^x dx

=(1/lna) ∫ (lna)×(a^x) dx

=(a^x) /lna +C

sinx的六次方的积分

∫ (sinx)^6 dx

=∫ [(sinx)^2]^3 dx

=(1/8)∫ [ 1- cos2x ]^3 dx

= (1/8)∫ [ 1- 3cos2x + 3(cos2x)^2 - (cos2x)^3 ]dx

=(1/8)[ x - (3/2)sin2x] +(3/8)∫ (cos2x)^2 dx-(1/8)∫ (cos2x)^3 dx

=(1/8)[ x- (3/2)sin2x ]+(3/16)∫ (1+cos4x) dx-(1/16)∫ (cos2x)^2 dsin2x

=(1/8)[ x- (3/2)sin2x ] +(3/16)[x+(1/4)sin4x] -(1/16)∫[1- (sin2x)^2] dsin2x

=(1/8)[ x - (3/2)sin2x ] +(3/16)[x+(1/4)sin4x]-(1/16)[sin2x- (1/3)(sin2x)^3] +C

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

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