函数是凹的（凹函数的性质及其证明）

1. 凹函数有哪些
2. 凹函数的性质及其证明
3. 凹函数f性质
4. 经济学中的凹函数和凸函数怎么定义的

凹函数有哪些

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx1+(1-λ)x2≥λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。

如果定义在某一区间上的一元实函数是连续函数，且对这一区间中的任何两点X1、X2，当X1<X2时，有不等式

其中q1、q2为正数，q1+q2=1，这时，我们把函数f(x)叫做凹函数，或叫做下凸函数。

如果把上述条件中的“≥”改成“>”，则叫做严格凹函数，或叫做严格下凸函数。

如果y=f(x)是(严格)凹函数，那么它的图象是(严格)凹曲线，或叫做(严格)下凸曲线。

凹函数的性质及其证明

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的：一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凸的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凹的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

凹函数f性质

1 所谓凹函数,其首要前提是在一个区间上处处连续.2 [f(a)+f(b)]/2>f[(a+b)/2]只是一般的定义,并不能作为判据.3 一般的判别方法是求它的二阶导数,如果在区间上恒大于0,就成为凹函数

经济学中的凹函数和凸函数怎么定义的

1、凹函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C(区间)上的实值函数f。

设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈(0，1)，总有 f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的上(下)凹函数。

判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数。

其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凹函数 2、凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤（f(x1)+f(x2))/2。

于是容易得出对于任意（0,1)中有理数p,f(px1+(1-p)x2）≤pf(x1)+(1-p)f(x2）。

如果f连续，那么p可以改成任意（0,1）中实数。

若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有 f（λx1+(1-λ）x2）≤λf(x1)+(1-λ）f(x2), 则f称为I上的凸函数。

判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数 对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上非负，就称为凸函数。（向下凸） 如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。

在经济学中，凹函数和凸函数是用来描述生产函数、成本函数和效用函数等经济变量之间关系的数学概念。

凹函数（Concave Function）是指在定义域内的任意两点之间，函数值总是小于或等于两点间连线的斜率（即连接两点的线段的斜率）。换句话说，如果对于任意的x_1和x_2，都有f((x_1+x_2)\div2)\ge\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，则函数f(x)是凹函数。

凸函数（Convex Function）则是指在定义域内的任意两点之间，函数值总是大于或等于两点间连线的斜率。换句话说，如果对于任意的x_1和x_2，都有f((x_1+x_2)\div2)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，则函数f(x)是凸函数。

需要注意的是，经济学中的凹函数和凸函数与数学中的凹函数和凸函数定义略有不同。在经济学中，凹函数和凸函数通常是指经济变量的二阶导数小于或大于零，而不是指函数图像的弯曲方向。

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