双曲正切函数（双曲正切函数图像）

1. 双曲正切函数性质
2. 双曲函数的推导过程

双曲正切函数性质

1.双曲正弦函数：是双曲函数的一种。双曲正弦函数在数学语言上一般记作sinh，也可简写成sh。

与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。

双曲正弦函数的定义式为：

sinhx=[e^x-e^(-x)]/2

2.双曲余弦函数：是双曲函数的一种。三角函数分正弦sin、余弦cos、正切tan、余切cot、正割sec、余割csc六种。那么，类似的，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割六种。双曲余弦函数也是其中一种。双曲余弦函数记作cosh，也可简写为ch

双曲函数的推导过程

双曲正切函数y=thx=sthx/cthx=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))=(e^2x-1)/(e^2x+1)=1-2/(e^2x+1)。

因此e^2x+1=2/(1-y)，e^2x=2/(1-y)-1=(1+y)/(1-y)

所以2x=ln((1+y)/(1-y))=ln(1+y)-ln(1-y)

所以x=(ln(1+y)-ln(1-y))/2

因此反函数为y=(ln(1+x)-ln(1-x))/2

双曲函数是一类与正弦函数和余弦函数相似的函数。它们的定义可以通过超越方程来推导。
首先，我们考虑一个标准的椭圆方程：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
然后，我们通过对角线 y = x / t，其中 t 是一个任意实数，将椭圆方程转换为双曲线方程：
(x^2 / a^2) - (x^2 / (a^2 * t^2)) = 1
整理得到：
x^2 = a^2 + a^2 * t^2
然后我们将 x 进行参数化，令 x = a * cosh(u) 和 t = sinh(u)，其中 u 是任意实数。代入方程，得到：
a^2 * cosh^2(u) = a^2 + a^2 * sinh^2(u)
然后，我们将双曲函数的定义引入到方程中。双曲函数的定义如下：
cosh(u) = (e^u + e^(-u)) / 2
sinh(u) = (e^u - e^(-u)) / 2
代入方程，得到：
a^2 * ((e^u + e^(-u)) / 2)^2 = a^2 + a^2 * ((e^u - e^(-u)) / 2)^2
化简得到：
(a^2 / 4) * ((e^u + e^(-u))^2 - (e^u - e^(-u))^2) = a^2
继续化简得到：
(a^2 / 4) * (4 * e^u * e^(-u)) = a^2
最后，化简得到：
e^u * e^(-u) = 1
可以通过定义 hyperbolic sine 与 hyperbolic cosine 来得到最终结果，即：
sinh(u) = (e^u - e^(-u)) / 2
cosh(u) = (e^u + e^(-u)) / 2
这就是双曲函数的推导过程。

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