可积什么意思,黎曼可积函数不连续点零测

1. 可积什么意思
2. 什么是黎曼函数

可积什么意思

可积[kějī]解释：可积一般就是指：可积函数；如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。可积函数：数学上，可积函数是存在积分的函数。

除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。 函数可积的充分条件：定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]

上可积。定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。 函数可积的充要条件：断点是零测度集。

应该是函数可积吧。它是指存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为黎曼可积（也即黎曼积分存在），或者Henstock-Kurzweil可积，等等。黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

可积是可定积分是部分曲线下的阴影面积（一个数字）和有原函数是两个独立概念2.连续的函数，有限震荡的函数，一定有原函数，其他没有，连续的函数可积，有有限个间断点的有界函数可积。 说完了 进一步说明一下 连续的原函数，有限震荡的有原函数，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）无穷间断点，没有原函数。 分析一下我们可以看出可积函数的间断点上，此函数其实不可导的，也就是该间断点上是没有意义的，也就是所谓的“尖锐的点”。

什么是黎曼函数

简介黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。　　此函数在微积分中有着重要应用。定义R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数；　　R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0,1)内的有理数。性质定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。　　证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。　　推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。　　推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）　　证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。变体R(x)=0，如果x为任意无理数；　　R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x为任意非零有理数；　　R(x)=1，如果x=0。　　这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。

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