一元函数连续性质和多元函数连续性质,多元函数连续性怎么判断

1. 一元函数连续性质和多元函数连续性质
2. 怎样理解多元函数，连续与偏导存在的关系，偏导连续之间的关系
3. 怎么证明连续性

一元函数连续性质和多元函数连续性质

一元函数是单调函数，二元函数一增一减。

怎样理解多元函数，连续与偏导存在的关系，偏导连续之间的关系

多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件。而偏导连续则是更强的条件，即偏导存在且连续可以推出多元函数连续，反之不可。

多元函数在某点可偏导，可是可能在这点沿不同方向的极限不同，所以不一定连续。而连续函数的偏导是不是一定存在，这个例子在一元函数里也很常见，比如x的绝对值，在x=0的时候没有导数。

偏导连续是可以推出可微的。而可微是很强的结论，因为可以用十分特殊的线性函数来逼近的话，很多特殊的反例就不见了，而线性函数是连续的，这由定义可以看出来。

所以，偏导存在且连续可以推出函数连续，反之不能。

反例沿用之前的反例，函数连续，但偏导不存在。

怎么证明连续性

证明函数是连续的方法：

1、证明一个分段函数是连续函数。

首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。

分段点处的左极限用左边的函数式做，分段点处的右极限用右边的函数式做。

2、多元函数在某点处的连续性证明

如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样：通过夹逼法,h(x)<f(x)<g(x),而h(x)与 g(x)的极限又是相等的,然后通过对比f(x)在某一点的函数值,最后得出结论是否相等。而一般的这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性,而又往往左边h(x)是0,右边g(x)也是趋于零的.而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限。

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