凸函数一定连续吗,证明凸函数连续

1. 凸函数一定连续吗
2. 上凸函数下凸函数怎么证明

凸函数一定连续吗

1. 紧集上的连续严格凸函数是有唯一极值点的。可以用反证法证明，假如x1, x2都是极值点，那么因为严格凸与x1,x2是极值点矛盾。证毕。

2. 开集上的严格凸函数不一定有极值点。比如通过求二阶导可以验证其在(-∞,0]是凸的，但是不存在极值。

3. 有界集上的连续可微函数是一定能通过梯度下降法找到极值点的，因为有如下定理（见[1], Page 38)："设pk是下降方向（不一定是梯度），ak是步长并满足Wolfe条件，设目标函数f在Rn上有界，且在开集N上连续可微，N是包含{x: f(x)<=f(x0), x0是初始点}的集合，假设▽f在N上Lipschitz连续，那么有"其中θk是下降方向pk与-▽f的夹角。

通过这条定理可以证明，梯度下降法和牛顿法，逆牛顿法都是收敛的。

(1) 令pk = -▽f 可推出，故梯度下降法收敛(2) 令可推出，故牛顿法收敛。

(3) 令，其中Bk是对称矩阵，可推出，故拟牛顿法收敛。

4. 理论上步长ak应该是计算出来的，在梯度下降法实际应用中通常都是把步长选取一个较小的ak(取大了会震荡)，是一个折衷的办法，但是实际效果还不错。参考文献[1] Numerical Optimization 2ed. Chapter 3.

对。 凸函数的性质之一为： 定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

凸函数的定义出发, 凸函数与连续的关系, 得出了连续函数不一定是凸函数, 凸函数也不一定连 续的结论, 给出了判别连续凸函数的...内闭连续...凸函数在所定义的区间内是内闭连续的，因为凸函数在定义域的内部单侧可导，所以单侧连续，从而连续。

不连续的点出现在端点上，只要端点处的函数值大于其单侧的极限值，都能保持凸性

上凸函数下凸函数怎么证明

凸函数和下凸函数的定义如下：

凸函数指的是在任何两点之间的线段上，函数值都会小于或等于这两点对应的函数值的平均值。如果将这个概念进行可视化表示，我们可以发现，凸函数的图像在任意两点之间的部分，其曲线都会位于这两点之间连成的线段的下方。

下凸函数则可以被视为凸函数的一个特例。具体来说，如果一个函数是下凸的，那么其图像上任何一段弧上的点都位于这条弧所张的弦的下方。

证明上下凸函数的方法有很多，最基本的方法是利用函数的一阶和二阶条件。此外，根据函数是否可微，凸函数的定义也适用。然而，值得注意的是，要确认一个函数是否是凸函数，必须要求其定义域为凸集。对于复合函数的凹凸性问题，我们也可以通过分析其中的各部分函数的凹凸性来进行判断。

可以通过计算函数的二阶导数来判断函数的凸凹性。具体介绍如下:

上凸函数的定义是：对于函数f(x)的定义域内的任意两个x1和x2，以及实数lambda，满足f((x1+x2)/2) ≤ (f(x1)+f(x2))/2，即函数的图像上任意两点的中点对应的函数值不大于这两点的函数值的平均值。

下凸函数的定义是：对于函数f(x)的定义域内的任意两个x1和x2，以及实数lambda，满足f((x1+x2)/2) ≥ (f(x1)+f(x2))/2，即函数的图像上任意两点的中点对应的函数值不小于这两点的函数值的平均值。

因此，我们可以通过计算函数的二阶导数来判断函数的凸凹性。如果函数的二阶导数在定义域内大于0，则该函数为上凸函数；如果函数的二阶导数在定义域内小于0，则该函数为下凸函数

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