函数变化率（函数的最大变化率）

1. 函数的变化率意义
2. 函数的最大变化率
3. 二次函数的变化率
4. 二元函数的变化率
5. 二次函数的平均变化率

函数的变化率意义

位置变化率来自于速度的定义。

速度的定义是物体的位移与物体发生这段位移的时间的比值。

位移的定义是从初位置到末位置的有向线段。

变化率是描述变化的快慢。

速度的定义也可以说成位置的变化率。

很多人认为“速度是位移的变化率”。这种说法是错的。速度是位移与时间的比值，速度是单位时间内的位移，但不是变化率。

知识延展：

1、平均变化率怎么算:

一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率。

2、瞬时速度:

函数的最大变化率

梯度方向。 在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）

二次函数的变化率

1.y=ax²+bx+c

对称轴为x=-b/(2a)

，顶点﹙-b/(2a)，（4ac-b²）/﹙4a﹚﹚

2.如果a>0.图像开口向上，x＜-b/(2a)时，y随x的增大而减小；x＞-b/(2a)时，y随x的增大而增大

当x=-b/(2a)

时，y有最小值为（4ac-b²）/﹙4a﹚

如果a<0

图像开口向下，x＜-b/(2a)时，y随x的增大而增大；x＞-b/(2a)时，y随x的增大而减小

当x=-b/(2a)

时，y有最大值为（4ac-b²）/﹙4a﹚

二元函数的变化率

梯度方向。 在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

二次函数的平均变化率

高中数学课本提到，位移对时间的导数是速度，那么根据物理学公式，在该公式适用的范围（常数函数、一次函数、二次函数）中，平均变化率公式亦可写成(和分别为函数在等于和处的导数），下证：

①常数函数：对于一般的，先按原公式算，；按另一种方式算，，两式结果相等，成立。

②一次函数：对于一般的，先按原公式算，；按另一种方式算，，两式结果相等，成立。

③二次函数：对于一般的，先按原公式算，；按另一种方式算，，两式结果相等，成立。

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