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越高阶导数连续，函数越光滑举个例子~y=x的绝对值，这个函数连续，但是导数不连续。

在举个例子 y=x平方，当x大于0时，y=x方，当x小于等于0时，这个函数连续，一阶导数也连续，二阶导数就不连续了，光滑性，就差了。



那么不光滑了对函数有什么影响呢，你看看泰勒公式，如果这个函数不太光滑也就是高阶导数不存在，那么他的泰勒展开就很短，近视计算函数的值误差就大~这就是实际意义~对于微分和积分也一样，泰勒公式有微分形式和积分形式，,同样可得，微分和积分的误差就跟着大了。

导数与导函数的概念

导数是描述函数在某一点处的局部变化率的概念。在数学中，给定函数f(x)，导数f'(x)表示了函数在某一点x处的切线的斜率，也即函数的瞬时变化速率。

导函数则是原函数的导数函数，将函数的每个点都对应到其导数值的函数。导数和导函数的概念在微积分中具有重要作用，能够帮助我们研究函数的性质和变化规律，从而解决各种实际问题。

导数是一个函数的增量比随着自变量增长率的极限值，也就是函数在某一点处的变化率。

导函数（也叫一阶导数）是一个函数在某一点处的导数。

不一样。

导数又叫导函数，是一个函数，是原来的函数的导函数。导数的几何意义就是斜率，求函数在x0处的切线斜率，就是先求出该函数的导数，然后将x0的值代入导数，得到的就是该点的切线斜率。导数是基于斜率运算的一个极限结果，可以描述图形的连续性，具有图形上单点的描述特征。

也就是说，导函数每一点的函数值都是对应于原函数的对应点的切线斜率。而斜率的意义是比较广泛的, 比如抛物线上任意两点连线可以求出一个斜率，但导数不可以这样做。

导数，也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导函数是经过对原函数求导后得到的函数,本质上还是函数。
函数在某一点的导数,其实就是把那个点的自变量的值代入到导函数中,求出来的是一个具体的数值，这个数称为函数在这个点的导数。

导数实质上求得的是函数图象某一点切线的斜率，当函数自变量的增量趋近于0，函数的增量与自变量增量比值的极限。

导函数是函数在某一连续开区间内处处可导时的任意点的导数，此时因为自变量不定，所以自变量与其在该点的导数之间存在一种函数关系。

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