函数的连续点（连续点定义）

1. 函数连续点的定义
2. 连续点定义
3. 有间断点的函数连续吗
4. 高数函数连续性的求法
5. 什么是连续函数，连续函数有间断点吗

函数连续点的定义

初等函数在其定义域内是连续的

函数连续性的定义:设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。 若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。

2.函数连续必须同时满足三个条件: (1)函数在x0 处有定义; (2)x-> x0时,limf(x)存在; (3)x-> x0时,limf(x)=f(x0)。 则初等函数在其定义域内是连续的

连续点定义

连续点的定义，在这一点的左右极限存在并且等于这一点的函数值。

f(0)=0. 当x趋于0时，xsin(1/x), sin(1/x)是个有界函数，x趋于0，无穷小乘以有界函数，极限还是0.

所以x趋于0时，lim xsin(1/x)=0=f(0)，符合连续点的定义，所以x=0是连续点选择D。

如果函数在某一邻域内有定义，且x-\u003ex.时limf(x)=f(x.),就称x.为f(x)的连续点。一个推论,即y=f(x)在x.处连续等价于y=f(x)在x.处既左连续又右连续,也等价于y=f(x)在x.处左、右极限都等于f(x.)。

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

有间断点的函数连续吗

不连续。间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。

有间断点的函数当然不连续，连续与间断是两个对立的概念，函数不是连续就是间断。

高数函数连续性的求法

判断函数在某一点处的连续性方法如下：

(1)这一点处的左极限等于右极限等于这一点处的函数值，函数在这点处连续。

(2)当自变量的增量趋近于0时，函数的增量也趋近于0，函数在这点处连续。

(3)函数在这一点处的极限等于这点的函数值，函数在这点处连续。

两个关键点，一个在x=1, lim(x->1+)(x-2)^2=1=f(1)=1. 连续；另一个在x=-1, lim(x->-1-)(x+1)=0不等于f(-1)=-1, 所以在x=-1不连续.

什么是连续函数，连续函数有间断点吗

可积和原函数存在完全两个概念.可积但原函数不一定存在,原函数存在不一定可积,二者没有必然关系.可积的充分条件：函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点.或函数在区间单调.原函数存在的充分条件：连续.另外函数含有第一类间断点,那么不存在原函数,含无穷型的间断点也不存在原函数.

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