函数定理（函数单调性定理）

1. 描述函数连续性的六大定理
2. 函数单调性定理
3. 函数的复合定理

描述函数连续性的六大定理

1、连续性定义：若函数f(x)在x0有定义,且极限与函数值相等,则函数在x0连续 2、充分条件：若函数f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件）,则函数在x0连续 3、必要条件：若函数f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数值,则在x0不连续 4、观察图像（这个不严谨,只适用直观判断）

5、记住一些基本初等函数的性质,大部分初等函数在定义域内都是连续的 6、连续函数的性质：连续函数的加减乘,复合函数等都是连续的

1 最值定理

最值定理可以判断该函数在某个闭区间上是否存在最值。

2 零点定理

要求函数零点或者函数零点的大致区间，可以用到零点定理。

3 介值定理

介值定理其实是零点定理的延伸，可以是想象成把x轴上下平移与函数在区间[a,b]中有交点，且f(a)=A，f(b)=B这样在该区间内必有一点c，能使f(c)=C，且C在区间[A,B]内。

4 罗尔定理

罗尔定理在高等数学中是十分常用的。

5 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是罗尔定理的进阶版，不需要两段函数值相等，只需要函数在闭区间连续开区间可导即可使用。

            描述函数连续性的六大定理是：

零点定理：如果连续函数闭区间端点处函数值异号，则区间内至少有一个零点。

介值定理：如果连续函数在闭区间端点处的函数值为A和B，则区间内至少有一个点的函数值在AB之间。

一致连续性：设f(x)在某区间上有定义，对任意正数ε，总存在正数δ，使任意两点|x1-x2|<δ时，|f(x1)-f(x2)|<ε，则称函数在该区间一致连续。一致连续表示，在该区间上，自变量两个值接近到一定程度时，对应函数值也要达到指定的接近程度。一致连续必然连续，连续不一定一致连续。

函数单调性定理

此定理是数学中的一个重要概念，它描述了函数在某个区间内的单调性。具体来说，如果在一个闭区间[a, b]上，对于任意的x1和x2，如果满足f(x1) < f(x2)，那么我们就可以说f(x)在这个区间内是单调递增的；如果满足f(x1) > f(x2)，那么我们就说f(x)在这个区间内是单调递减的。

这个定理的基本形式可以表述为：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在区间[a, b]上单调递增或单调递减，那么这个函数在整个实数域上就是单调的。

需要注意的是，这个定理只保证了函数在给定区间上的单调性，但并不能保证函数在所有可能的点上都单调。例如，函数f(x) = x^3在实数域上显然是单调递增的，但它并不是在整个实数域上都是单调递增的，因为它在某些点（如负数）上也是单调递增的。

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

函数的复合定理

设y是u的函数，u是x的函数。如果的值全部或部分在的域中，则y通过u成为x的函数，称为由函数与复合而成的复合函数。

1、只有Mx∩Du≠时，两个函数才能形成复合函数。

2、设函数y=f（x）的域为Du，值域为Mu，函数u=g（x）的域为Dx，值域为Mx。如果Mx∩Du≠，然后是Mx∩Du中的任意x经过u；如果有一个唯一的Y值对应于它，那么变量X和Y之间通过变量U存在函数关系，称为复合函数。

3、判断复合函数单调性的步骤：找到复合函数的定义域；将复合函数分解为几个常用函数；判断各公共函数的单调性；将中间变量的取值范围转换为自变量的取值范围；求复合函数的单调性。

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