二元函数的二阶导数（二元函数的二阶导数怎么求）

1. 二阶偏导数的所有形式
2. 二阶导数定义法

二阶偏导数的所有形式

所有数学形式为：u ＝ u(x，y) 1) ∂²u/∂x² 2) ∂²u/∂x∂y, ∂²u/∂y∂x 3) ∂²u/∂y²

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那么称函数f(x,y)在域D可导。

此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作f'x(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

二元函数z=f（x，y）的二阶偏导数共有四种情况：

（1）∂z²/∂x²=[∂（∂z/∂x）]/∂x；

（2）∂z²/∂y²=[∂（∂z/∂y）]/∂y；

（3）∂z²/（∂y∂x）=[∂（∂z/∂y）]/∂x，；

（4）∂z²/（∂x∂y）=[∂（∂z/∂x）]/∂y其中，∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y）称为函数对x，y的二阶混合偏导数，其求法上面已给出了基本公式，下面举例说明，设二元函数z=sin（x/y），求∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y），解∵∂z/∂x=（1/y）cos（x/y），∂z/∂y=（－x/y²）cos（x/y），∴∂z²/（∂y∂x）=[∂（∂z/∂y）]/∂x=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。∂z²/（∂x∂y）=[∂（∂z/∂x）]/∂y=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。

二阶导数定义法

二阶导数定义：

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数yˊ=fˊ（x）仍然是x的函数，则y′′=f′′（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

几何意义

1、切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。

2、函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。

函数凹凸性

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，

（1）若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

（2）若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

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