二元函数泰勒公式展开（二元函数泰勒公式展开式）

1. 二元函数的泰勒公式
2. ac-b^2怎么判断极值 abc分别是
3. 拉普拉斯方程是怎样推导出来的

二元函数的泰勒公式

h表示x的增量k表示y的增量

ac-b^2怎么判断极值 abc分别是

具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：

第一步 解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；

第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；

第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值

已知函数  （假设函数平滑，即可微），在三维空间中的对应图形是一个曲面。

若要函数在  取得极值，需要满足：过该点由任意方向上的无限大平面所截得的

无数条曲线均在此处同时取极大（小）值。

ac-b^2通过导数来判断极值，abc分别是不同的参数，若得到ac-b^2=0，还不能得到是否有极值的结论。先求导，然后使导函数等佰于零，求出x值，接着确定定义域，画表格，最后找出极值。

二元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值?

还有就是当AC-B^2＞0时，为什么A＞0有极小值，A＜0有极大值？

这个用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明了：f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h ,这里h为余项

f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)

多看,其义自见.

那先看ac-b²是否大于0。

如果ac-b²>0的话，那驻点（如果有驻点的话)就是极值点。

如果ac-b²<0的话，那驻点就不是极值点，函数就没有极值了

定义

极值的定义如下：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

拉普拉斯方程是怎样推导出来的

拉普拉斯方程是一种描述二维或三维空间中标量场的变化的偏微分方程。它可以用于描述许多物理现象，如电场、热传导、流体力学等。

拉普拉斯方程最初是由法国数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在18世纪末提出的。根据高斯发现的电场公式，以及泊松定理，可以得到拉普拉斯方程。

假设标量场 $\phi(x,y,z)$ 满足它在空间中的任何一点 $(x,y,z)$ 处的拉普拉斯方程，则满足：

$$

\nabla^2\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=0

$$

其中 $\nabla^2$ 是拉普拉斯算符，表示一个标量函数的二阶导数之和。这个方程表示在空间中的任何一点上，标量场的变化率都为零。

为了更好地理解这个方程，我们可以将其应用于一些物理系统中，例如温度分布或电场分布。在这些系统中，如果任何一点的拉普拉斯方程为零，那么该点的温度或电势值将保持稳定，不会发生变化。

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