函数的幂级数展开式的应用（幂级数可导性）

1. 辅助角公式的应用
2. 幂级数可导性
3. 函数展成幂级数时的范围

辅助角公式的应用

求周期

例1、求函数

的最小正周期。解：

所以函数y的最小正周期T=π。

将三角式化为y=Asin(

辅助角公式主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)]。

李善兰，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，浙江海宁人，是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家，创立了二次平方根的幂级数展开式，研究各种三角函数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。

幂级数可导性

幂级数在其收敛区间内是可导的。对于幂级数∑(an*x^n)，如果其收敛半径R > 0，则在区间(-R, R)内，幂级数是无限次可导的。这意味着在该区间内，可以对幂级数进行逐项求导。导函数是原幂级数的逐项导数，即∑(n*an*x^(n-1))。这个结果可以通过幂级数的逐项求导定理来得到。然而，需要注意的是，幂级数的导函数的收敛半径可能小于原幂级数的收敛半径。

幂函数在定义域内一定连续，但不一定可导。例如y=x^(1/3)在x=0处就是不可导的

函数展成幂级数时的范围

必须要写收敛域范围 当你套用这个级数结果的时候，取值都在这个范围内，不会出现发散的可能性，方便做题。

函数展成幂级数，必须注明该级数旳收敛性，即收敛范围。例如，sinx＝x-x^3/3！＋x^5/5！-…。它的收敛范围是lxⅠ＜∞。又如，ln（1＋x）＝x-x^2/2＋x^3/3-x^4/4＋x^5/5-…。其收敛范围是-1＜x≤1。

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