多元复合函数的偏导数(偏导数极值公式)

2025-07-06 19:11:19 函数指令 嘉兴
  1. 高数:多元复合函数的求导法则
  2. 偏导数极值公式

高数:多元复合函数的求导法则

高等数学中多元复合函数的求导法则主要包括链式法则和求偏导数法则两个方面。

1. 链式法则:对于由多个函数嵌套组成的复合函数,它的导数可以通过链式法则来求得。链式法则的基本形式为:

多元复合函数的偏导数(偏导数极值公式)

$$

\frac{\partial z}{\partial x_i}=\frac{\partial z}{\partial y_j}\frac{\partial y_j}{\partial x_i}

$$

其中,$z$是复合函数的输出变量,$y_j$是复合函数的中间变量,$x_i$是复合函数的输入变量。上式表示,$z$关于$x_i$

多元复合函数的偏导数(偏导数极值公式)

与一元复合函数不同,多元复合函数的“复合”方式多种多样,这就使得多元复合函数求导的问题相应地比一元函数情形复杂。其实相同了很简单.

①对于中间变量为一元函数的情形:

使用换元法算外围的,然后在乘以内围的例Y=coS(SINX)的导把sinx看作T得V=--SINT再乘以 SINX的导得最终结果Y=--SIN(COSX)。

②中间变量为多元函数的情形:

多元复合函数的偏导数(偏导数极值公式)

举个例子:z=f(x+yxyx),u=x+y,v=xyo

dz/dx=(df/du)(du/dx)+(df/dv)(dv/dx)+df/dx(“d”表示偏导的符号)。

这里的df/dx,是把uy看作不变,仅仅是对 z=f(x+yxyx)中的第三个位置的x求导。

多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。多元函数的求导即偏导数,实际上和求导基本一样,就是把别的参数看作常数,然后对此参数进行求偏导数,链式法则显然不能少,其余的就是一般的导数公式。

多元复合函数的求导法则口诀

f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x),先对外层函数求导再依次往里推,举例求f(x)=sin(cosx)的导数,外层是sinx,内层是cosx,先对外层求导就是cos(cosx),此时应注意内层函数不动。再乘以内层函数导数-sinx,因此结果是f'(x)=cos(cosx)(-sinx)。

复合函数

偏导数极值公式

各个分量的偏导数为0,这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的,那么这时不是极值点。

以二元函数为例,设函数z=f(x,y)在点(x。,y。)的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x。,y。),fy(x。,y。)=0,令

fxx(x。,y。)=a,fxy=(x。,y。)=b,fyy=(x。,y。)=c

则f(x,y)在(x。,y。)处是否取得极值的条件是

(1)ac-b*b>0时有极值

(2)ac-b*b<0时没有极值

(3)ac-b*b=0时可能有极值,也有可能没有极值如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。

如果是条件极值,那么更复杂一些。

多元复合函数的高阶偏导数是考研数学的重要考点,同时也是多元函数微分学部分的难点,考查题型可以是客观题也可以是主观题,该知识点还经常与微分方程一起出综合题。 解决多元复合函数高阶偏导关键在于画出关系图,同时弄明白函数偏导数依然为多元复合函数。 一、多元复合函数偏导数   上面公式可以简单记为“连线相乘,分线相加”;也可以借助微分形式不变性,即函数有几个中间变量,则偏导有几部分组成(不排除个别部分为零). 二、多元复合函数二阶偏导数 对于复合函数二阶偏导数,关键需要理解函数对中间变量的偏导数依然为多元复合函数,其关系与原来因变量与自变量关系完全一致

到此,以上就是小编对于多元复合函数的偏导数例题的问题就介绍到这了,希望介绍的2点解答对大家有用,有任何问题和不懂的,欢迎各位老师在评论区讨论,给我留言。

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    语法

    REPLACE ( ''string_replace1'' , ''string_replace2'' , ''string_replace3'' )

    参数

    SqlServer中REPLACE函数的使用,sql替换字符串函数

    ''string_replace1''

    待搜索的字符串表达式。string_replace1 可以是字符数据或二进制数据。

    ''string_replace2''

    待查找的字符串表达式。string_replace2 可以是字符数据或二进制数据。

    SqlServer中REPLACE函数的使用,sql替换字符串函数

    在SQL Server中,REPLACE函数用于替换字符串中出现的指定子字符串。它接受三个参数:原字符串,要被替换的子字符串和替换后的子字符串。

    该函数会查找原字符串中的所有匹配项,并将其替换为指定的字符串。如果原字符串中不存在要替换的子字符串,则不会发生任何更改。使用REPLACE函数可以轻松地进行字符串替换操作,例如将某些特定字符替换为其他字符或将一部分文本替换为其他文本。这在数据清洗和字符串处理中非常有用。

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