多元函数求极值的一般方法,多元函数极值的求法及应用

1. 多元函数求极值的一般方法
2. 多元函数的极值点
3. 多元连续函数存在极值的充要条件
4. 三元函数条件极值求解

多元函数求极值的一般方法

1、条件极值与无条件极值：除限制在函数定义域内以外没有其他条件的是无条件极值，对自变量有附加条件的为有条件极值

2、拉格朗日乘数法：

若求函数f（x，y）极值的限制条件为Φ（x，y）=0，则令：

F（x，y）=f（x，y）+λ（Φ（x，y）），（其中F（x，y）称为拉格朗日函数，λ称为拉格朗日乘子）

令Fx（x，y）=0；Fy（x，y）=0；Fλ（x，y）=0；求解此方程组，所得点即为其可能极值点

多元函数的极值点

极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

中文名

多元函数极值

所属学科

数学

设n(n>2)元函数在点的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于的点，都有或

（），则称函数在有极大值(或极小值)。极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

多元连续函数存在极值的充要条件

设函数z=f(x,y)在点（x.,y.）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x.,y.）,fy(x.,y.）=0,令

fxx(x.,y.)=A,fxy=(x.,y.）=B,fyy=(x.,y.）=C

则f(x,y)在（x.,y.）处是否取得极值的条件是

（1）AC-B*B>0时有极值

（2）AC-B*B

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。



扩展资料

多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。

三元函数条件极值求解

多元函数的极值及最大值、最小值

定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式

，

则称函数在点有极大值。如果都适合不等式

，

则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

例1函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。

例２函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。

例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

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