二次函数的五要素是什么,方向导数怎么求

1. 二次函数的五要素是什么
2. 二次函数的开口方向是什么意思
3. 函数最大变化率，方向导数

二次函数的五要素是什么

1、轴对称

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线 ，对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。a,b同号，对称轴在y轴左侧；a,b异号，对称轴在y轴右侧。

2、顶点

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0）

3、开口

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

4、决定位置因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号。

二次函数的开口方向是什么意思

函数的开口方向一般用于讨论二次函数

当二次函数的曲线两边向上延伸就是开口向上，函数对应的曲线两侧向下延伸就是开口向下

如何判断二次函数的开口方向，对称轴，

1、开口方向：将函数化为y=ax²+bx+c，如果a＞0，则开口向上；如果a＜0，则开口向下。

例如，函数y=x²-2x-3，a=1＞0所以开口向上。

2、对称轴：直线x=-b/2a

例如，函数y=x²-2x-3，-b/2a=-（-2）/2×1=1，所以对称轴为直线x=1。

3、顶点坐标：[-b/(2a),（4ac-b²)/(4a)]，因为顶点在对称轴上，即顶点横坐标x=-b/2a，代入求得顶点纵坐标y=4ac-b²

例如，函数y=x²-2x-3，x=-b/2a=1，y=（4ac-b²)/(4a)=[4×1×3-（-2）²]/4=-4

函数最大变化率，方向导数

梯度方向。 在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。 梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

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