三角函数反函数图像（三角函数的反函数公式）

1. 三角函数为什么有反函数
2. 三角函数的反函数公式
3. 三角函数反函数和原函数对应关系
4. 三角函数的反函数与反三角函数有区别吗
5. 求三角函数反函数的步骤

三角函数为什么有反函数

因为所有的三角函数，都是多个自变量对应同一个函数值，即不同的自变量可以算出相同的函数值。所以所有的三角函数都是没有反函数的。而反三角函数，是三角函数的一个单调分支的反函数，不是完整的三角函数的反函数。

比方说反正弦函数，f（x）=arcsinx，并不是g（x）=sinx的反函数，g（x）=sinx没有反函数。f（x）=arcsinx只是g（x）=sinx（-π/2≤x≤π/2）这个单调分支的反函数。

所以反正弦函数的定义域是x∈[-1，1]，值域是y∈[-π/2，π/2]

三角函数的反函数公式

1）arcsin(-x)=-arcsinx；arccos(-x)=π-arccosx；arctan(-x)=-arctanx；arccot(-x)=π-arccotx。

（2）arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx；sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)。

（3）当x∈(—π/2,π/2)时，arcsin(sinx)=x；当x∈(0,π)，arccos(cosx)=x；x∈(—π/2,π/2)，arctan(tanx)=x；x∈(0,π)，arccot(cotx)=x。

（4）若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2)，则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)。

三角函数反函数和原函数对应关系

举个简单的例子说明一下吧

y=sinx是原函数，则反函数为y=arcsinx

因为sin30°=0.5，所以arcsin0.5=30°=π/6

arcsinx就是求一个角，使得它的正弦值等于x

反函数应该注意几点：

1.原函数的值域等于反函数的定义域，比如y=sinx值域为[-1,1]，y=arcsinx的定义域就是[-1,1]

2.不单调的函数是没有反函数的，因为一个函数值可能对应几个不同的自变量

3.单调函数的反函数也是单调的，而且它们的单调性一致

4.原函数过（a，b）点，则反函数过（b，a）点，所以从图像上看，原函数与反函数的图像关于直线y=x对称

三角函数的反函数与反三角函数有区别吗

因为所有的三角函数，都是多个自变量对应同一个函数值，即不同的自变量可以算出相同的函数值。所以所有的三角函数都是没有反函数的。而反三角函数，是三角函数的一个单调分支的反函数，不是完整的三角函数的反函数。

比方说反正弦函数，f（x）=arcsinx，并不是g（x）=sinx的反函数，g（x）=sinx没有反函数。f（x）=arcsinx只是g（x）=sinx（-π/2≤x≤π/2）这个单调分支的反函数。

所以反正弦函数的定义域是x∈[-1，1]，值域是y∈[-π/2，π/2]

求三角函数反函数的步骤

直接函数y=2sin3x的定义域应限制为：-π/2≦3x≦π/2，即-π/6≦x≦π/6才会有反函数。

此时直接函数的值域为：-2≦y≦2；当-π/6≦x≦π/6时由sin3x=y/2；得3x=arcsin(y/2)；即 x=(1/3)arcsin(y/2);交换x，y，即得反函数：y=(1/3)arcsin(x/2)；定义域：由-1≦x/2≦1，得定义域为：-2≦x≦2；值域为：-π/6≦y≦π/6。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

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