复合函数例题（高中数学复合函数例题）

1. 复合函数求导例题
2. 三个简单函数构成的复合函数
3. 函数的复合定理

复合函数求导例题

复合函数的导数：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)即y=f（g（x））的导数间的关系为

y'=f'（g（x））*g'（x）

例题：y=(2x^3-x+1/x)^4

设u=2x^3-x+1/x,y=u^4,

则y'=(u^4)'*u'=4u^3*(6x^2-1-1/x^2)

三个简单函数构成的复合函数

复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。 1、复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。 法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)； 法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；  2、应用举例求：函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。 解：设u=g(x)=3x+2 f(u)=u3+3 f'(u)=3u2=3(3x+2)2 g'(x)=3 f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2

三个函数复合成的函数是复合函数。例如f(x)=1/√x^2+2这种，可以把它看成1/根号下g（x）。x^2+2没有条件，根号是大于等于0，分母不等于0，所以它的定义域就是刚才那个，值域根据上面定义域求。

复合函数，是按一定次序把有限个函数合成得到的函数，对两个函数f：A关于函数的复合运算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)确定的函数h称为f与g的复合函数，记为g·f。这样，g·f是A到C的函数，(g·f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，记号“·”表示两个函数的复合，它是二元运算.这个运算不满足交换律，即一般来说g·f≠f·g，但它满足结合律：对f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h·(g·f)=(h·g)·f，于是可以定义h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f。

函数的复合定理

设y是u的函数，u是x的函数。如果的值全部或部分在的域中，则y通过u成为x的函数，称为由函数与复合而成的复合函数。

1、只有Mx∩Du≠时，两个函数才能形成复合函数。

2、设函数y=f（x）的域为Du，值域为Mu，函数u=g（x）的域为Dx，值域为Mx。如果Mx∩Du≠，然后是Mx∩Du中的任意x经过u；如果有一个唯一的Y值对应于它，那么变量X和Y之间通过变量U存在函数关系，称为复合函数。

3、判断复合函数单调性的步骤：找到复合函数的定义域；将复合函数分解为几个常用函数；判断各公共函数的单调性；将中间变量的取值范围转换为自变量的取值范围；求复合函数的单调性。

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