函数与极限（函数与极限在经济生活中的应用）

1. 函数的极限与函数值是一样的
2. 函数和的极限与极限的和相等吗
3. 函数极限定义与函数连续性的区别
4. 函数极限与数列的极限有什么区别
5. 函数和极限的历史

函数的极限与函数值是一样的

函数值,是指自变量取一定值时,对应的因变量的取值.

极限值是指,自变量趋近某特定值时,因变量趋近的值.

两者是有区别的,

趋近的值不一定是函数值,甚至在此点函数是没有定义.

例如：

f(x)=sin(x),

人为挖去一个点（0,0）,构成一个新函数g（x）

g（x）在x趋近0时的极限值是0,但是是没有定义的,

再进一步,

定义g（0）=8（可以使任意非零实数）,

“函数在一点的极限存在”和“函数在一点连续”是两个不同的概念，函数在一点的极限等于函数在那点的函数值，那么就可以说函数在那点是连续的。而极限存在本身是不能保证连续性的，甚至函数在那点可以没有定义

可以，完全可以！

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对函数来说，极限有两种：

一种是连续函数的定义域内的点的极限，极限值就是函数值，

函数值就是极限值，两种完全等同毫无二致。

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另一种是定义域的边界点，或间断点，那就得看是什么样的

边界点、间断点。

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1、对于无穷型的间断点，函数值不存在，极限值也不存在；

函数和的极限与极限的和相等吗

函数(function）就是在domain(定义域）和range(值域）建立一一对应关于.函数的极限：就是函数趋近于某个值，它趋于某个值注意：极限不是f(x)在该点的取值，严格的来说与该点取值无关。f(x)=x^2，x->0，它的极限为0,看着像是该点的取值。其实很多时候这是不对，这里是对的。只有连续的时候在是f(x)在该点的取值.两种的联系：没有函数就没办法考虑极限。

函数极限定义与函数连续性的区别

简单的说连续性就是在一定的取值范围内自变量的任意取值都有意义与一个对应的值，而函数的极限就是指自变量在指定的那一个值函数没有意义，而当自变量在从正方向和负方向无限靠近那个值的时候函数就会无限的接近但不等一个值，这个值就是该函数在该点的极限值的极限值。

总的来说连续函数没有极限；而在那个有极限的点，函数没有连续性。

连续性是针对一段函数来说的，而极限是就一点来说的。

函数极限与数列的极限有什么区别

1、从研究的对象看区别 数列是离散型函数。 而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。

2、取值方面的区别 数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。

3、从因变量趋近方式看区别 数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近；而函数没有跳跃趋近。 关系 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。 它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。

函数和极限的历史

（1）由来

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

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