凸函数（凸函数和凹函数怎么判断）

1. 凸函数的公式
2. 凸函数一定有极小值吗
3. 上凸函数与下凸函数性质

凸函数的公式

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。设f(x)在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2，恒有f[(x1+x2)/2]>=[f(x1)+f(x2)]/2则称f(x)在[a,b]上是向上凸的，简称上凸.f(x)是[a,b]上的凸函数

定义

定义1设f(x)在区间I上有定义,f(x)在区间I称为是凸函数当且仅当:∀x1，∀x2∈I,有f[λx1+（1-λ）x2]≥λf（x1)+(1-λ)f(x2)上式中“≥”改成“>”则是严格凸函数的定义。

定义2设f（x）在区间I上有定义,f（x）在区间I称为是凸函数当且仅当:∀x1，∀x2∈I，有f[（x1+x2）/2]≥f（x1）/2+f（x2）/2。

定义3设f（x）在区间I上有定义,f（x）在区间I称为是凸函数当且仅当∀x1、x2....xn∈I：,有f[（x1+x2+......xn）/n]≥[f（x1）+f（x2）+......f（xn）]/n。

定义4f(x)在区间I上有定义,当且仅当曲线y=f(x)的切线恒保持在曲线以下,则成f(x)为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线f(x)为严格凸的。

凸函数一定有极小值吗

不一定，比如1/x在（0，1）上

. 紧集上的连续严格凸函数是有唯一极值点的。可以用反证法证明，假如x1, x2都是极值点，那么因为严格凸

与x1,x2是极值点矛盾。证毕。2. 开集上的严格凸函数不一定有极值点。比如

通过求二阶导可以验证其在(-∞,0]是凸的，但是不存在极值。3. 有界集上的连续可微函数是一定能通过梯度下降法找到极值点的，因为有如下定理（见, Page 38)："设pk是下降方向（不一定是梯度），ak是步长并满足Wolfe条件，设目标函数f在Rn上有界，且在开集N上连续可微，N是包含{x: f(x)\u0026lt;=f(x0), x0是初始点}的集合，假设▽f在N上Lipschitz连续，那么有"

其中θk是下降方向pk与-▽f的夹角。通过这条定理可以证明，梯度下降法和牛顿法，逆牛顿法都是收敛的。(1) 令pk = -▽f 可推出

，故梯度下降法收敛(2) 令

可推出

，故牛顿法收敛。(3) 令

，其中Bk是对称矩阵，可推出 【多元连续严格凸函数是否存在唯一极值点】

，故拟牛顿法收敛。4. 理论上步长ak应该是计算出来的，在梯度下降法实际应用中通常都是把步长选取一个较小的ak(取大了会震荡)

是的，凸函数一定有极小值。凸函数的定义是对于任意两个点，连接它们的线段上的函数值都不大于这两个点对应的函数值的加权平均。这意味着凸函数的曲线是向上凸起的，没有局部最大值。因此，凸函数必定有一个全局最小值，即极小值。这是凸函数的一个重要性质，使得凸优化问题具有良好的性质和解的存在性。

上凸函数与下凸函数性质

上凸有最大值 下凸有最小值 可以说成开口向上或者向下

到此，以上就是小编对于凸函数和凹函数怎么判断的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。