微积分极限等价替换公式,函数极限等价代换公式

1. 微积分极限等价替换公式
2. 同阶与等价的区别
3. 极限等价替换公式推导过程
4. 极限等价代换的适用条件

微积分极限等价替换公式

微积分中的等价无穷小替换公式是一种求解极限的方法，它利用了函数在某一点附近的局部性质。具体的等价无穷小替换公式如下：

1. 当x趋于0时，sinx与x等价。

2. 当x趋于0时，cosx与1等价。

3. 当x趋于0时，tanx与x等价。

4. 当x趋于0时，ln(1+x)与x等价。

5. 当x趋于0时，arctanx与x等价。

6. 当x趋于0时，e^x-1与x等价。

7. 当x趋于0时，a^x-1与xlna等价（其中a>0且a≠1）。

8. 当x趋于0时，(1+bx)^a-1与ax等价（其中a>0且a≠1）。

同阶与等价的区别

1、种类不同

等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。

2、结果不同

等价无穷小的两个无穷小之比必须是1，同阶无穷小的两个无穷小之比是个不为0的常数。因此，同阶无穷小中包含等价无穷小。

3、情况不同

同阶无穷小量，其主要对于两个无穷小量的比较而言，意思是两种趋近于0的速度相仿。等价无穷小是同阶无穷小的一种特殊情况。

等价就是A可以推出B,B也可以推出A，称两个命题等价， 同阶就是两个极限的比值等于一个常数，成为同阶。

同阶 相除等于一个常数k

等价 相除等于1

同阶无穷小的比值为一个不为零的常数,等价无穷小的比值为1

limf(x)/g(x)=c (c为常数) 如果c=1,那么f(x)与g(x)是等价无穷小(此时其实也同阶);如果c≠0,那么f(x)与g(x)是同阶无穷小.等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形.

极限等价替换公式推导过程

1. 首先，我们假设 u=φ(x)，即 x 通过函数φ(x) 映射到 u。

2. 然后，我们将函数 y=f(u) 中的 u 用φ(x) 来表示，得到新的函数 y=f[φ(x)]。

3. 接下来，我们求这个新函数的导数，即 y'。根据链式法则，y' = f'(u) * φ'(x)。

4. 由于 f'(u)=g'(x)，所以 y' = g'(x) * φ'(x)。

5. 最后，我们将函数 y=g(x) 中的 x 用φ(x) 来表示，得到新的函数 y=g[φ(x)]。由于 y' = g'(x) * φ'(x)，所以新的函数 y=g[φ(x)] 在其导数为 g'(x) * φ'(x) 的地方与原函数 y=g(x) 等价。

极限等价代换的适用条件

1. 极限等价代换适用于函数的极限计算中。
2. 假设函数f(x)在点x0处连续，且在x0的某一个邻域内除x0外没有其他的极点，那么当x趋近于x0时，f(x)可以被等价代换为g(x)，且g(x)在x0处的极限存在。
3. 延伸内容：极限等价代换的应用范围很广，比如在微积分、数学分析、物理学等领域都有广泛的应用。
同时，在进行极限等价代换时，需要注意函数的连续性和极点的情况，否则可能会得到错误的结果。

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