多元函数可微可导连续（多元函数可微可导连续之间的关系）

1. 为什么多元函数不可微一定不连续
2. 多元函数可微分一定连续吗
3. 可微和连续可微区别

为什么多元函数不可微一定不连续

不可微也可能连续。

可微必连续，可微必可导。反之不成立。

可微的性质最强，若二元函数的某一点可微，说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在，全微分是二元函数所有性质的综合，所以可微必连续，也必可导，但反之，连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件，所以不能通过连续与可导来断定可微。

多元函数可微分一定连续吗

多元函数 若在一点可微分，则必定在该点连续。多元函数在定义域内点的可微性保证了它在此点关于每一个变量的偏导数都存在。但是反过来是不对的，多元函数在定义域内点关于每一个变量的偏导数都存在，不能保证可微，甚至不能保证连续。最简单的例子是：f(x,y)=0,当xy=0时f(x,y)=1,当xy不等于0时对于一元函数，可导和可微分是等价的

可微和连续可微区别

可微和连续可微的区别主要体现在以下几个方面：

1. 定义上的区别：

可微函数指的是在某个区间内存在导数，即在该区间内是连续的，并且在该区间内的每个点都有导数。可微函数的图像是光滑的，没有突变或断点。

连续可微函数是指在某个区间内既是可微的，又是连续的。连续可微函数的偏导数一定连续。

2. 导数（或偏导数）的连续性：

可微函数的导数（或偏导数）可能不连续，而连续可微函数的导数（或偏导数）一定是连续的。

3. 例子：

例如，设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=0处存在导数y'=f'(x)，则称y在x=0处可导。如果一个函数在x=0处可导，那么它一定在x=0处是连续函数。但如果一个函数在x=0处连续，那么它在x=0处不一定可导。

再如，对于多元函数，存在偏导数不连续也可微的函数。连续可微与可微的区别就是，连续可微函数的偏导数一定连续，而可微函数就不一定了。

综上，可微和连续可微的主要区别在于函数的导数（或偏导数）是否连续以及函数在特定点的连续性。可微函数的导数（或偏导数）可能不连续，而连续可微函数的导数（或偏导数）一定是连续的。同时，可微函数在特定点可能不连续，而连续可微函数在特定点一定是连续的。

"可微"和"连续可微"是微积分中的两个重要概念，它们之间有一些区别。

- 可微（Differentiable）：一个函数在某点可微，意味着在该点附近存在一条切线，且切线与函数图像在该点重合。换句话说，函数在该点存在斜率。如果一个函数在其定义域的每个点都可微，那么它被称为可微函数。可微性是一个较弱的条件，只要求函数在某个点附近存在切线。

- 连续可微（Continuously Differentiable）：一个函数在某个区间上连续可微，意味着它在该区间上可微且导数也是连续的。换句话说，函数在该区间上的每个点都具有定义良好的导数，并且导数是连续的。连续可微性是一个较强的条件，要求函数在整个区间上都具有良好的导数，并且导数是连续的。

总结：可微性是对函数在某点处的切线存在与否的性质的描述，而连续可微性要求函数在一个区间上的每个点都可微且导数连续。因此，连续可微性是更加强的条件。

到此，以上就是小编对于多元函数可微可导连续之间的关系的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。