定积分和原函数的关系（为什么定积分一定有原函数）

1. 定积分与原函数的区别与联系
2. 为什么定积分一定有原函数
3. 常见定积分的原函数

定积分与原函数的区别与联系

1、定积分(它是一个数，常数)，它可以通过不定积分来求得(牛顿莱布尼茨公式)。 

2、函数 f（x）的定积分与这个函数的原函数F(x) 是紧密联系的. 定积分是由函数话f(x)确定的的某个值（一个数），而原函数F(x)是一个函数，它的导数是f(x)，而不定积分是所有的原函数。 

3、定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）

定积分是个值,原函数是函数,

如果f(x)在(a,b)上黎曼可积,并且有原函数F(x)

则f(x)在(a,b)上的定积分等于F(b) - F(a) （微积分基本定理）

1.原函数、不定积分、定积分的含义

工欲善其事，必先利其器。欲彻底掌握其中的难点，首先要清楚原函数、不定积分、定积分的含义，通俗点讲，原函数、不定积分、定积分的含义如下：

原函数：如果函数F(x)在定义域内可导，且导函数为f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

不定积分：若函数f(x)存在原函数，则f(x)所有原函数的集合称为不定积分。换句话说，不定积分表示函数f(x)所有的原函数。

定积分：描述的是在指定范围内，曲线、横轴与两条端点直线所围成图形的面积，见图1阴影部分。在横轴上，面积为正；在横轴下，面积为负。

定积分的结果是一个数或代数式！！只有不定积分与原函数有联系：对某个函数求不定积分，其结果就是这个函数的原函数簇。

为什么定积分一定有原函数

定积分的几何意义是函数在自变量区域内的面积，所以定积分一定有原函数

定积分仅需要判断函数在求积区间内是否连续，不需要关注其全域性质。

而原函数则需要满足函数在该区间内的导数正好是我们想求定积分的函数。

只有当定积分的函数恰好是原函数在该区间内的导数时才能通过原函数来求定积分。

常见定积分的原函数

原式=-∫d(1+cosx)/√(1+cosx)=-2 √(1+cosx)+C利用的公式为∫dx/√x =2√x+C2、令√x=t，x=t²，dx=2tdt原式=2∫t e^t dt=2∫t d(e^t) =2t e^t - 2∫e^t dt=2t e^t -2e^t +C=2(√x -1)e^(√x)+C 

1/x原函数是lnx

cosx的原函数是sinx

sinx的原函数是-cosx

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