什么是凹函数（什么是凸函数什么是凹函数）

1. 什么是凹函数
2. 凹函数的性质
3. 凸函数完整的定义

什么是凹函数

凹函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C（区间）上的实值函数f 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数. 判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数 一般的判别方法是求它的二阶导数，如果在区间上恒大于0，就成为凹函数。

除了一楼的定义以外,需要补充如下几点: 1所谓凹函数,其首要前提是在一个区间上处处连续. 2[f(a)+f(b)]/2>f[(a+b)/2]只是一般的定义，并不能作为判据。

3一般的判别方法是求它的二阶导数，如果在区间上恒大于0，就成为凹函数。

凹函数的性质

凹函数（concave function）是指定义在实数集上的函数，具有以下性质：

1. 定义域上的任意两点连线上的函数值不会高于这条连线的外部点的函数值，即对于任意实数 a < b 和任意 t ∈ [0, 1]，有 f((1-t)a + tb) ≥ (1-t)f(a) + tf(b)。这个性质也可以被表述为函数的图像在任意两点之间的部分位于这两点之间连线的下方或与其共线。

2. 凹函数的二阶导数存在且处处不大于零，即 f''(x) ≤ 0，其中 f''(x) 表示函数 f(x) 的二阶导数。

3. 凹函数的切线始终处于函数图像的上方，即对于定义域上的任意一点 x，有 f(x) ≤ f(a) + f'(a)(x - a)，其中 a 是定义域上的任意一点。

凹函数的性质使得它在优化问题和经济学等领域中具有重要的应用。凹函数在条件优化中可以表示约束条件，它们也是许多优化算法的基础。此外，凹函数的性质使得它们在许多最优化问题中能够保证存在唯一的最大值点和全局最优解。凹函数还与风险评估和效用函数等经济学概念相关联。

凸函数完整的定义

凸函数：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1 x2)/2]<=[f(x1) f(x2)]/2 则称f(x)在[a，b]上是凸的。 函数图形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函数. f(x)=lgx是凸函数,根据函数图象判断.一般开口向下的二次函数是凸函数,开口向上的二次函数是凹函数

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