连续可导函数的导函数一定连续吗,函数连续导函数连续吗?

1. 连续可导函数的导函数一定连续吗
2. 为什么可导的函数一定要连续

连续可导函数的导函数一定连续吗

我们想要证明
我们知道在的闭区间中连续，开区间中可导（之所以不打括号是因为我们不知道谁大）。由拉格朗日中值定理可知，在所组成的开区间中存在，使得。这里注意当时，
代入我们想要求的极限，可得。得证。

在这个情况下导数的确在处连续，

但是这是因为题目中假设了导数在处存在极限。

若没有这个假设，则导数不一定连续。

连续可导函数的导函数不一定是连续的。例如f（x）＝x^2*sin（1／x），当x不等于0时，f（x）＝0，这个函数在域内任何点都可导，但导数不连续。总之函数可导，函数一定是连续的，但不能确定导函数是连续的。如果函数可导，且多阶可导，这个函数就是越光滑的。

为什么可导的函数一定要连续

因为只有左右导数存在且相等,并且在该点连续,才能证明该点可导。 可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。可导一定连续，连续不一定可导。可以导的函数的话，如果确定一点那么就知道之后一点的走向，不会有突变。

数学：

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

一、连续与可导的关系：

1. 连续的函数不一定可导；

2. 可导的函数是连续的函数；

3.越是高阶可导函数曲线越是光滑；

4.存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限(左右极限都存在)。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

二：有关定义：

1. 可导：是一个数学词汇，定义是设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x_0处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x_0处可导。

2. 连续：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。如果当自变量Δx趋向于0时。相应的函数改变量Δy也趋向于0， 则称函数y=f(x)在点x0处连续。

若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。

建议记这些结论的时候，不要简记（时间久了容易混淆），完整的说法如下：

函数在某一点可导，则函数在这一点处是连续的。

函数在某一点是连续的，则函数在这一点处是存在极限的。

上面两条，反之都是不成立的，分别举一个反例

函数在某一点是连续的，但是在某一点不一定可导的。

反例: ，在 处

可导必连续，这是显然的。利用导数的极限定义就可以看出，如果可导。那么对应的极限存在。因为是分式型，且分母为无穷小量，那么分子必为无穷小量，也就是lim(x→x_0)f(x)-f(x_0)=0，所以lim(x→x_0)f(x)=f(x_0)。这就说明了其连续。因为函数连续就是说每一点的左极限和右极限存在且相等 而函数可导就暗含了这个条件 所以函数可导就一定连续

到此，以上就是小编对于函数连续导函数连续吗?的问题就介绍到这了，希望介绍的2点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。