证明凹函数（证明凹函数一定是拟凹函数）

1. 怎么证明效用函数拟凹性
2. 凹函数推广定义如何证明

怎么证明效用函数拟凹性

可以证明效用函数的二阶导数大于等于0即可证明其拟凸性。

我们可以通过以下步骤来证明它的拟凹性：1. 首先求取效用函数的一阶导数和二阶导数；2. 然后令效用函数的二阶导数大于等于0；3. 如果效用函数的二阶导数大于等于0，则说明其拟凹性成立，即任何两个点之间的线段都在效用函数下方；4. 也就是说，对于同一件物品，当它的数量很少或过多时，效用会降低；中间数量时效用会最大，也就是拐点。

因此，只要效用函数的二阶导数大于等于0，我们就可以证明其拟凸性，从而说明这个函数具有拟凹性。

要证明一个函数的效用函数是拟凹的，需要进行以下步骤：

1. 假设函数为 $U(x_1,x_2,...,x_n)$，其中 $x_1,x_2,...,x_n$ 是决策变量。

2. 对于任意的 $x,y$，以及 $0 \leq \lambda \leq 1$，有 $U(\lambda x + (1-\lambda)y) \geq \lambda U(x) + (1-\lambda)U(y)$。

现在一般的高数书不称“凸性”“凹性”而称“上凸”“下凸”上凸　（f（x1）＋f（x2））＆＃47；2＆lt；＝f（（x1＋x2）＆＃47；2）下凸　（f（x1）＋f（x2））＆＃47；2＆gt；＝f（（x1＋x2）＆＃47；2）

凹函数推广定义如何证明

设函数f(x)在x0处可导，且二阶导数矩

阵为A。对于任意的向量h，有：

f(x0+h)=f(x0)+A(h,h)+o(||h||^2)

其中o(||h||^2)表示当||h||趋于0时，o(||h||^2)/||h||^2趋于0的函数。

当A为正定矩阵时，对于任意的向量h，有A(h,h)>0，因此f(x0+h)>f(x0)，即函数f(x)在x0处是凸函数。

当A为负定矩阵时，对于任意的向量h，有A(h,h)<0，因此f(x0+h)<f(x0)，即函数f(x)在x0处是凹函数。

当函数f(x)在x0处不可导时，无法得出函数f(x)在x0处是凹函数还是凸函数的结论。

在数学中，凹函数是指定义在实数集上的函数，具有以下性质：对于任意的实数x1和x2，以及0<=t<=1，有f(tx1+(1-t)x2) <= tf(x1) + (1-t)f(x2)。换言之，对于函数上的任意两点作线段，线段上的函数值都不大于线段两端点上的函数值之加权平均。

凹函数的推广定义可以有多种形式，其中一种比较常见的是对于凸结构的推广定义。凹函数的推广定义如下：对于给定的集合S以及定义在S上的函数f，如果对于任意的实数x1和x2以及0<=t<=1，在S内取点x = tx1 + (1-t)x2，都有f(x) <= tf(x1) + (1-t)f(x2)，则称函数f是凹函数。

为了证明函数f是凹函数，一般需要使用数学推导和证明方法。下面是一种常见的证明方法：

证明步骤：

1. 假设函数f是定义在集合S上的凹函数。

2. 选择任意的实数x1和x2，以及0<=t<=1。

3. 构造点x = tx1 + (1-t)x2，在集合S内取点x。

4. 根据凹函数的定义，有f(x) <= tf(x1) + (1-t)f(x2)。

5. 经过推导和代数计算，将f(x)展开为形式f(tx1 + (1-t)x2)。

6. 将展开后的表达式与tf(x1) + (1-t)f(x2)进行比较。

到此，以上就是小编对于证明凹函数一定是拟凹函数的问题就介绍到这了，希望介绍的2点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。