函数在某点的连续性（函数在一点连续的定义）

1. 高数函数连续性的求法
2. 函数在一点连续的定义
3. 怎样证明函数连续

高数函数连续性的求法

判断函数在某一点处的连续性方法如下：

(1)这一点处的左极限等于右极限等于这一点处的函数值，函数在这点处连续。

(2)当自变量的增量趋近于0时，函数的增量也趋近于0，函数在这点处连续。

(3)函数在这一点处的极限等于这点的函数值，函数在这点处连续。

两个关键点，一个在x=1, lim(x->1+)(x-2)^2=1=f(1)=1. 连续；另一个在x=-1, lim(x->-1-)(x+1)=0不等于f(-1)=-1, 所以在x=-1不连续.

函数在一点连续的定义

连续性是函数的一个性质 简单点说就是函数的极限值等于函数值 连续相对的就是间断 通俗的理解就是那条线中间没有间断的

函数在x=x0处有定义，就是f(x0)存在。

通俗的说，就是自变量取x0时，函数等于某一个确定的数。

如y=(x-2)/(x-4)，在x=4处无定义（因为f(4)不存在），在x=2处有定义（因为f(2)=0，是确定的数）

1.函数连续性的定义: 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。

若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。

2.函数连续必须同时满足三个条件：

（1）函数在x0 处有定义；

（2）x-> x0时，limf(x)存在；

（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。则初等函数在其定义域内是连续的。间断点的定义：间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。

如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。1.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。

如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

2.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。

如函数y=|x|/x在点x=0处。3.无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。

怎样证明函数连续

证明函数连续:

首先，函数在该点要有定义；

然后，函数在该点要存在极限(即左极限要等于右极限)；

最后，函数在该点的极限值还必须等于函数在该点的函数值。就是要这三点同时满足，就可以说函数在该点连续。

答案是，

判断函数连续的方法：

求出某点左右极限，如果左极限等于右极限且等于函数在此处的函数值，则函数在此点连续，若任意点在范围内都满足这个条件，则函数是连续的。

函数y=f（x），当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，

用极限给出严格描述：设函数y=f（x）在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

到此，以上就是小编对于函数在某点的连续性怎么求的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。