凸优化算法原理及讲解,凸函数优化问题

1. 凸优化算法原理及讲解
2. 凸函数的定义
3. 凸函数有最优解吗

凸优化算法原理及讲解

凸优化方法是数学优化方法中具有代表性的一种，凸优化被广泛运用在图像处理，自动控制系统，估计和信号处理，通信网络，数据挖掘，电路设计等很多方面，特别是在现在的人工智能时代，机器学习和深度学习具有很高的热度和应用价值，从某种意义上讲，凸优化也可看做是机器学习中的一部分。

凸优化算法是最优化问题中非常重要的一类，也是被研究的很透彻的一类。

对于机器学习来说，如果要优化的问题被证明是凸优化问题，则说明此问题可以被比较好的解决。

求解一个一般性的最优化问题的全局极小值是非常困难的，至少要面临的问题是：函数可能有多个局部极值点，另外还有鞍点问题。

对于第一个问题，我们找到了一个梯度为0的点，它是极值点，但不是全局极值，如果一个问题有多个局部极值，则我们要把所有局部极值找出来，然后比较，得到全局极值，这非常困难，而且计算成本相当高。

第二个问题更严重，我们找到了梯度为0的点，但它连局部极值都不是，典型的是这个函数，在0点处，它的导数等于0，但这根本不是极值点：

梯度下降法和牛顿法等基于导数作为判据的优化算法，找到的都导数/梯度为0的点，而梯度等于0只是取得极值的必要条件而不是充分条件。

如果我们将这个必要条件变成充分条件，即：问题将会得到简化。

如果对问题加以限定，是可以保证上面这个条件成立的。

其中的一种限制方案是：

对于目标函数，我们限定是凸函数；对于优化变量的可行域（注意，还要包括目标函数定义域的约束），我们限定它是凸集。

凸函数的定义

1 凸函数是指满足在定义域上的任意两点间的函数值不大于这两点连线上任意一点的函数值的函数。
2 这个定义来源于凸集的定义。
凸集是指任意两点间的连线都在集合内的集合。
而凸函数就是在定义域上满足对应的凸集性质的函数。
凸函数的性质通常用于优化问题中的约束条件。
3 凸函数在数学、物理、经济学、金融等各个领域都有广泛的应用。
在金融学中，例如在资产定价方面，根据凸函数的性质，资产价格的波动幅度是与其预期收益率成正比的。
此外，在优化问题中，凸函数具有一些很好的性质，例如全局最优性和解的唯一性。

凸函数：凸函数是数学函数的一类特征。设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1 x2)/2]<=[f(x1) f(x2)]/2 则称f(x)在[a，b]上是凸的。

凸函数：图象向上（或者斜向上）凸起的函数，就是凸函数。凸函数的二阶导数小于0；凹函数：图象向上（或者斜向上）凹进的函数，就是凹函数。凹函数的二阶导数大于0。 

凸函数有最优解吗

凸函数，是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。设f(x)在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2，恒有 f[(x1+x2)/2]>=[f(x1)+f(x2)]/2则称 f(x) 在[a,b] 上是向上凸的，简称上凸.f(x)是[a,b]上的凸函数。

很显然，凸函数有最优解。

到此，以上就是小编对于凸函数优化问题的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。