调和函数性质（调和函数性质及证明?）

1. 调和函数的性质
2. 调和函数有哪些

调和函数的性质

调和函数是指满足拉普拉斯方程（即二阶偏微分方程的一种）的函数。调和函数具有平滑性和无奇点性质，即在其定义域内是无穷次可微的，并且在定义域边界上没有奇点。

调和函数还具有最大值原理，即在定义域内取得最大值的点必须在边界上，且在边界上取得最大值的点只有边界上的点。

调和函数还具有平均值性质，即在任意球面上的平均值等于球心上的值。调和函数在物理学、工程学等领域具有广泛应用，如电势场、热传导等问题。

调和函数的第一个惊人性质是它的解析性，也就是说，调和函数在定义域内每一点是可以进行无穷次泰勒展开的，这就意味着调和函数是光滑的，或者说无穷次可导的。为什么说这个性质好呢？注意到，定义调和函数时我们仅仅要求它存在二阶偏导数，但实际上这样的定义只用极少的要求就保证了函数的光滑性，可谓化腐朽为神奇。

但解析性并非调和函数的本质特征，实际上，调和函数的最本质的性质是满足所谓的平均值原理。而且为了获得调和函数更好的性质，一般我们会在有界区域中考虑这些问题，还会要求函数具有连续或可导的边值。那么，什么是平均值原理呢？简单来说，就是函数u在一点x的值等于函数在以x为中心的球区域中体积积分或面积积分的平均值(通过简单的积分计算可以证明，这两种积分平均值是等价的)：

为什么说平均值原理是调和函数最本质的特征呢，这是因为调和函数几乎所有的重要性质都可以从平均值原理推导出来，例如上面说过的解析性。而且更重要的是，平均值性质完全刻画了调和函数，这就是如下的结论：

调和函数的另一个重要性质是极值原理：

调和函数如果不是常数，那么它不能在内部取到极大值或极小值。

由极值原理，我们立即可以获知，调和函数由其边值唯完全决定：

调和函数具有以下性质：
1. 实值性：调和函数的值一定是实数。
2. 齐次性：对于任意实数c，若f(x)是调和函数，则f(cx)也是调和函数。
3. 线性组合的调和性：如果f和g都是调和函数，那么它们的线性组合也是调和函数。
4. 微分的调和性：如果f是调和函数，那么f的任意阶导数也是调和函数。
5. 解析函数的调和性：如果f是一个复数域上的解析函数，那么f的实部和虚部都是调和函数。
6. 柯西-黎曼方程：调和函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。
7. 最小二乘法：给定一个二元组(x,y)，对于所有次数小于2的二元多项式，该二元组给出了使该多项式的平方和最小的解。
8. 共轭函数的调和性：如果f是一个复数域上的解析函数，那么f的共轭函数也是调和函数。
9. 柯西积分公式：如果f是一个复数域上的解析函数，那么对于f的任意闭合曲线上的积分等于0。
10. 柯西积分定理：如果f是一个复数域上的解析函数，那么对于f的任意简单曲线上的积分等于0。
11. 泰勒级数展开：如果f是一个复数域上的解析函数，那么f可以表示为泰勒级数的形式。
12. 唯一性定理：如果两个调和函数在某个区间上相等，那么在整个复平面上它们都相等。

调和函数有哪些

调和函数harmonic function 定义： 在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。 调和函数-----数学物理方程 如果二元函数f(x,y)在

区域Ω内有二阶连续偏导数且满足

拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.

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