构建拉格朗日函数的条件,如何构造拉格朗日函数求极值

1. 构建拉格朗日函数的条件
2. 拉格朗日条件极值法
3. 拉格朗日乘数法中的乘数λ能为零
4. 函数怎么才能升维

构建拉格朗日函数的条件

函数需要满足完整约束。拉格朗日函数是在力学系上只有保守力的作用，是描述整个物理系统的动力状态的函数。

在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。

在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。

拉格朗日条件极值法

方法如下：

1、首先列出使用“拉格朗日求极值”的已知条件。

2、然后列出拉格朗日辅助函数 F(x, y, z)。

3、求出拉格朗日辅助函数 F(x, y, z) 对 x、y、z 的偏导数，并使之为零。

4、然后依据所有偏导数构成的方程组，解出唯一的驻点。

5、最后即可完成拉格朗日求极值的过程，得出函数的极大值（也是最大值）。

判断是极大值还是极小值点，一个初步的方法是依靠经验和对问题的认识。当不能作出有效判断时，可以求取函数的二阶导数进行判断，其实一个简单的方法是比较该极值点的函数值与相邻点的函数来作出判断。

至于存在不能化为无条件极值的问题，一般是先不管约束条件建立求解极值点的方程，然后再限制在约束条件下求出最后解答，具体的过程，建议参看变分原理等数学或力学书籍，如《计算动力学》中就有提到，不过这本书不是纯粹的数学推演。

拉格朗日乘数法中的乘数λ能为零

拉格朗日乘数的数值是按照实际演算获取的，不排除为0的可能性。根据推导过程可知，λ是不可以等于0的。

1.如果等于0，f对x求导，就是原函数对x求导

2.f对y求导，就是原函数对y求导

3.上面两个式子一般是不可能解出来的 由拉格朗日乘数法的推导过程可以看出，λ≠0，否则驻点(x0,y0)满足的式子就变成了

4.f对x的偏导=0

5.f对y的偏导=0

6.f对λ的偏导=0

7.前面两个式子一般是不成立的。

8.求z=xy^2在x^2+y^2=1下的极值？一般应该是求最大值、最小值！

9.一种方法是化成一元函数的极值z＝x(1－x^2)，－1≤x≤1.

函数怎么才能升维

隔板法就是在n个元间的n-1个空中插入若干个隔板，可以把n个元素分成（n+1）组的方法，应用隔板法必须满足这n个元素必须互不相异，所分成的每一组至少分得一个元素，分成的组彼此相异。对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。

如果没有限制条件的话,以二元函数为例,第一步求出该函数的一阶偏导数都为零时的点,记为P0点,此时P0点是稳定点,然后验证Heesen矩阵的的正定性,若正定,在P0点取得极小值,若负定,在P0点取得极大值,若不定,不取得极值.

(具体还有判断公式)

2.如果有限制条件,例如限制条件为ψ（x,y）=0,那么有两种方法：

1.升维：构造拉格朗日函数,利用拉格朗日乘数法作为必要条件求解,然后在验证是否取得极值.

2.降维：这种方法多种多样,比如利用参数化求解又或者例如u（x,y,z）=0,限制条件为ψ(x,y,z)=0那么就会得出一个关于z的表达式为：z（x,y）=0,将其带入u(x,y,z)中,这样的话,原函数就由3维降到了2维,就比较方便了

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