反双曲余弦函数表达式,反双曲余弦函数图像及性质

1. 反双曲余弦函数表达式
2. 反双曲余弦函数的性质
3. 反双曲余弦的推导过程

反双曲余弦函数表达式

双曲函数

sinhx=[e^x-e^(-x)]/2

coshx=[e^x+e^(-x)]/2

另外四个用这两个导出。

反函数

arsinhx=ln[x+sqrt(x^2+1)]

arcoshx=ln[x-sqrt(x^2-1)]

双曲函数和三角函数有着很类似的性质，最本质的联系等你学过Euler公式就能推导了。

在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推.

反双曲余弦函数记作y=arcoshx。

双曲函数y=coshx的定义是y=coshx= .那么，取它的反函数，最终得到反双曲余弦函数的定义是y=arcoshx= 。

反双曲余弦函数的定义域为 。它是非奇非偶函数。在区间 内单调增加。反双曲余弦函数的图像如图所示。

反双曲余弦函数的导数是 。不定积分是 （不包含不定积分特有的常数C）。

反双曲余弦函数的幂级数展开式是 ：

反双曲余弦函数的性质

反双曲余弦函数是指将自变量取双曲余弦值后，再求得投影在实轴正半轴上的角度值。它的定义域是实数集，值域是区间[0,π]。反双曲余弦函数是偶函数，且在自变量趋近于正无穷和负无穷时，函数值趋近于零。反双曲余弦函数具有反函数的性质，即有着唯一的反函数，其导数为双曲正切函数的倒数。在数学分析、物理学等领域广泛应用。

反双曲余弦的推导过程

反双曲余弦（也称为双曲余弦补码）是双曲正切函数的反函数。双曲正切函数通常用 tanh(x) 表示，它的定义域是实数域，值域是 (-1, 1)。反双曲余弦函数的定义则是将 tanh(x) 函数的值域映射回定义域，即对于 -1 ≤ x ≤ 1，有arctanh(tanh(x)) = x。

反双曲余弦函数的推导过程可以从多个角度进行，以下是一种常见的方法：

1. 首先，我们回顾一下双曲正切函数的泰勒级数展开：

tanh(x) = x - x^3/3 + 2x^5/15 - x^7/105 + ...

2. 对 tanh(x) 应用反函数运算，可以得到：

arctanh(x) = x + x^3/3 - 2x^5/15 + x^7/105 - ...

3. 为了简化这个级数，我们可以引入一个参数 a：

arctanh(ax) = ax + ax^3/3 - 2ax^5/15 + ax^7/105 - ...

函数在不单调的情况下，欲求其反函数，可在其部分区间上求。

例如x的平方。

双曲余弦函数是偶函数，在实数集是没有反函数，通常所指的反双曲余弦函数是指在x大于零的区间上，易知。双曲余弦函数的值域为不小于根号二。所以当x大于零的前提下，你对求出来的根取正数，应该取大于1的那个，所以应该取正的。

因为y=[e^x+e^(-x)]/2≥1，所以e^y≥e； x-√(x^2-1)=1/[x+√(x^2-1)]≤1<e，故舍去（注意：|x|≥1）。

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